复合函数微分

复合函数微分Tag内容描述：<p>1、73 多元复合函数微分法 一多元复合函数微分法 （多元复合函数求导法则） 1多元复合函数 若 z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y)， 则称z为x,y的复合函数 z=f(x,y),(x,y) 例如：z=eusinv u=xy v=x+y 则函数z=exysin(x+y)是x,y的复合函数 推广： z=f(u,v,w),u=(x,y),v=(x,y)，w=(x,y) z=f(x,y),(x,y),(x,y) 2.多元复合函数求导法则 例1 设z=eu sinv 而u=xy,v=x+y 求 和 解： 注记： 例1的解法是将u,v代入f(u,v)，再按一元复 合函数求导法则分别求 ， 。 以下我们给出直接从函数f(u,v)的偏导数 ， 及(x,y),(x,y)的偏导数 ， ， ， 求 ， 的公式。 定理。</p><p>2、第7章 多元函数微积分 7.1 多元函数的基本概念 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 复合函数微分法与隐函数微分法 7.5 多元函数的极值 7.6 二重积分的概念与性质 7.7 二重积分的计算（一） 7.8 二重积分的计算（二） 7.4 复合函数微分法与隐函数微分法 一、多元复合函数微分法 二、隐函数微分法 三、微分法在几何上的应用（不作教学要求 ） 一、多元复合函数微分法 1.复合函数的中间变量为一元函数的情形 2. 复合函数的中间变量为多元函数的情形 3. 多元复合函数的几种复合关系 一、多元复合函数微分法 1. 复合函数的中间变量为一元函数的情形 图7。</p><p>3、第四节 复合函数微分法 一、 链式法则 二、 全微分形式不变性 四、 小结 三、方向导数 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两 个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 定理 2 , 链式法则如图示 即令 特殊地其中 两者的区别 为了避免记号出错，引进另外一种 表示方法。 设，记 用表示对第一个位置的变量求偏导。 用表示对第二个位置的变量求偏导。 即 用表示对第三个位置的变量求偏导。 即 则 可写成 依次类推 等等。 解 解 例3(000305) 设 其中 均可微, 则 解: 例4(020410) 设 , 其中 具有连续二阶偏 导数, 求 . 解: 二。</p><p>4、第五讲 复合函数与隐函数的微分法 内容提要 1.多元复合函数的求导法则； 2.隐函数的求导法则。 教学要求 1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法； 2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。 先复习一元函数复合函数求导法则 一、多元复合函数求导法则 这个复合过程， 下面先对二元函数的复合函数进行讨论 可以形象的用一条链来描述： 定理1 且 上述复合过程可以形象的用一条链来描述： 解 解 练习 说明： 简单表示为 1. 解 2. 复合过程 两者的区别 x f 为了区别将其改为 可以形象的用一条链来描述： 例3 解 定理1可推广到中间变。</p><p>5、第五节 复合函数的偏导数和全微分 证 一、链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 解 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 思考题 思考题解。</p><p>6、返回返回后页后页前页前页 2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会 在计算导数或偏导数时寸步难行. 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的全微分 返回返回后页后页前页前页 一、复合函数的求导法则 设设函数 (1) 定义义 在 平面的区域 D 上, 函数 (2 ) 定义义在 xy 平面的区域 上. 若 则则可构成复合函数: 返回返回后页后页前页前页 (3) 其中 (1) 为为内函数, (2) 为为外函数, ( x, y ) 为为中间变间变 量, ( s, t ) 为为自变变量. 下面。</p><p>7、第六章 多元函数的微分学,第一节 多元函数的极限与连续 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 复合函数的微分法 第五节 二元函数微分学在几何上的应用 第六节 二元函数的极值,2019年5月13日星期一,2,第四节 复合函数的微分法,3,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 全导数公式 ),4,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不一定成立.,5,推广:,1) 中间变量多于两个的情形.。</p><p>8、第四节复合函数与隐函数的微分法,一.复合函数的微分法,定义,设,是,的函数,而,又分别是,的函数,则称,是,的复合函数,记作:,其中,称为中间变量.,定理,若函数,和,在点,的偏导数存在,而函数,在,对应于,的点,处可微,则复合,函数,在点,存在偏导数,且,证,因为,可微,所以,令,则有,故,附证:,证,建议按关系图记公式:,(1)从因变量到自变量有几条路,公式中就,有几项相加;,(2)每一条路上有几段,对应项中就有几个,因子相乘;,(3)每个因子都是相应段上的偏导.,注 遇一元函数时写一元函数导数符号.,例1 已知,求,解法一,1.具体复合函数求偏导,例1 已知,求,解。</p><p>9、,二、复合函数的求导法则,.,推广,.,例4,解,.,例,一、原函数与不定积分的概念,例,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,.,不定积分的定义：,.,例1求,解,解,例2求,.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,.,基本积分表,是常数);,.,.,.,例4求积分,解,根据积分公式。</p><p>10、二 复合函数的求导法则 推广 例4 解 例 一 原函数与不定积分的概念 例 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 不定积分的定义 例1求 解 解 例2求 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算。</p><p>11、,二、复合函数的求导法则,.,推广,.,例4,解,.,例,一、原函数与不定积分的概念,例,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,.,不定积分的定义：,.,例1求,解,解,例2求,.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,.,基本积分表,是常数);,.,.,.,例4求积分,解,根据积分公式。</p><p>12、二、复合函数的求导法则,推广,例4,解,例,一、原函数与不定积分的概念,例,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,不定积分的定义：,例1求,解,解,例2求,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,例4求积分,解,根据积分公式（2）,三、不定积分的性质,问题。</p><p>13、二 复合函数的求导法则 1 推广 2 例4 解 3 4 例 一 原函数与不定积分的概念 例 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 5 不定积分的定义 6 例1求 解 解 例2求 7 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 8 基本积分表 是常数 9 10 11 例4求积分 解 根据积分公式 2 12 三 不定积。</p><p>14、二 复合函数的求导法则 1 推广 2 例4 解 3 4 例 一 原函数与不定积分的概念 例 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 5 不定积分的定义 6 例1求 解 解 例2求 7 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 8 基本积分表 是常数 9 10 11 例4求积分 解 根据积分公式 2 12 三 不定积。</p><p>15、二、复合函数的求导法则,推广,例4,解,例,一、原函数与不定积分的概念,例,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,不定积分的定义：,例1求,解,解,例2求,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,例4求积分,解,根据积分公式（2）,三、不定积分的性质,问题。</p>