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73 多元复合函数微分法 一多元复合函数微分法 （多元复合函数求导法则） 1多元复合函数 若 z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y)， 则称z为x,y的复合函数 z=f(x,y),(x,y) 例如：z=eusinv u=xy v=x+y 则函数z=exysin(x+y)是x,y的复合函数 推广： z=f(u,v,w),u=(x,y),v=(x,y)，w=(x,y) z=f(x,y),(x,y),(x,y) 2.多元复合函数求导法则 例1 设z=eu sinv 而u=xy,v=x+y 求 和 解： 注记： 例1的解法是将u,v代入f(u,v)，再按一元复 合函数求导法则分别求 ， 。 以下我们给出直接从函数f(u,v)的偏导数 ， 及(x,y),(x,y)的偏导数 ， ， ， 求 ， 的公式。 定理（链式法则）： 若 函数u=(x,y),v=(x,y)在点(x,y) 有偏导数； 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)可微。 则 复合函数 z=f(x,y),(x,y) 在点 (x,y)有对x,y的偏导数，且 证明：设 x：xx+x；y不变 则 u：uu+u；v：vv+v 进而 z: zz+z 由于z=f(u,v)在(u,v)可微, 即有 z=dz+o()= 上式除以x，得 两端取极限（当x0时），就得 同理 例1 z=eu sinv u=xy v=x+y 解： 注记： 当 则 当 则 式 (3)、(4)可以推广到有三个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形； 式 (5)、(6)可以推广到有一个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形； 式 (7) 可以推广到有两个以上的中间变 量的情形。 例2 求偏导数 设 z=e usinv u=x+y v=x-y 则 解： 求 求 解： 设 Q=f(u,v,w) u=x v=xy w=xyz 则 例3 求导数 设 求 解 设 解： 例4 设f(x,y)为k次齐次函数且可微，验证公式 齐次函数的Euler 公式 解：由已知得 对求导，得 上式对任意的0都成立，特别地当 =1时也成立， 即 例5 设 ，其中F可微，试证 注记： 求多元复合函数的偏导数应注意到： 必须严格分清自变量与中间变量，及其关系； 求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有 关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结 到自变量； 有几个中间变量，就应含有几项；有几次复 合，每项就应有几个因子相乘。 3一阶全微分形式不变性 对于 z=f(x,y) （1）当x,y是自变量时, （2）当x,y是中间变量时，例如 x=x(t,s), y=y(t,s)时 (3) 比较（*）和（*）知形式不变。 74 隐函数微分法 1一个二元方程的情形 设 F(x,y)=0 确定 y=f(x)的导数 则 Fx,f(x)=0 例6 求 解： 2一个三元方程的情形 设 F(x,y,
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