高等数学同济大学第六版

高等数学同济大学第六版Tag内容描述：<p>1、第一章综合测试题一、填空题1、函数的定义域为 .2、设, 则 .3、已知在连续，则 .4、若，则 .5、函数的连续区间为 .二、选择题1、 设是奇函数，是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A） （B） （C） （D）2、 设在内单调有界， 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A）若收敛，则收敛 （B）若单调，则收敛 （C）若收敛，则收敛 （D）若单调，则收敛 3、 设 则（ ）. （A）在点，都连续 （B）在点，都间断（C）在点连续，在点间断 （D）在点间断，在点连续4、 设，则下列断言正确的是（ ）. （A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界（C）若。</p><p>2、1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1), 其中L是由y=0, x=1, y=x所围成区域的正向边界; 解 这里P=x2+y2, Q=y2-x2, , 由格林公式. (2), 其中L为正向星形线(a0); 解 这里, , , 由格林公式. (3), 其中L为在抛物线2x=py2上由点(0, 0)到的一段弧; 解 这里, , . 由格林公式, 其中L、OA、OB、及D如图所示. 故 . (4)计算曲线积分, 其中L为圆周(x-1)2+y2=2, L的方向为逆时针方向.解 这里, . 当x2+y20时. 在L内作逆时针方向的e小圆周l : x=ecosq, y=esinq(0q2p), 在以L和l为边界的闭区域D。</p><p>3、习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1); 解 因为f(x)=1-x2为偶函数, 所以bn=0(n=1, 2, ), 而, (n=1, 2, ),由于f(x)在(-, +)内连续, 所以, x(-, +). (2); 解 , (n=1, 2, ),(n=1, 2, ). 而在(-, +)上f(x)的间断点为x=2k, , k=0, 1, 2, , 故。</p><p>4、习题11-11. 写出下列级数的前五项: (1); 解 .解 .(2); 解 .解 .(3); 解 .解 .(4). 解 .解 .2. 写出下列级数的一般项: (1); 解 一般项为.(2); 解 一般项为.(3); 解 一般项为.(4). 解 一般项为.3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为, 所以级数发散. (2); 解 因为,所以级数收敛. (3). 解 .因为不存在, 所以不存在, 因而该级数发散.。</p><p>5、习题11-41. 求函数f(x)=cos x的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数. 解 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ),从而得f(x)在x0处的泰勒公式. 因为(0q1), 而级数总是收敛的, 故, 从而. 因此, x(-, +). 2. 将下列函数展开成x的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1); 解 因为, x(-, +), 所以 , x(-, +),故 , x(-, +). (2)ln(a+x)(a0); 解 因为,。</p><p>6、习题12-21. 求下列微分方程的通解: (1)xy-yln y=0; 解 分离变量得, 两边积分得, 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=eCx .(2)3x2+5x-5y=0; 解 分离变量得5dy=(3x2+5x)dx, 两边积分得, 即 , 故通解为, 其中为任意常数.(3); 解 分离变量得, 两边积分得 即 arcsin y=arcsin x+C, 故通解为y=sin(arcsin x+C). (4)y-xy=a(y2+y); 解 方程变形为(1-x-a)y=ay2, 分离变量得, 两边积分得, 即 , 故通解为, 其中C=aC1为任意常数.。</p><p>7、习题11-31. 求下列幂级数的收敛域: (1)x+2x2+3x3+ +nxn+ ; 解 , 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是发散的, 所以收敛域为(-1, 1). (2); 解 , 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-1, 1. (3); 解 , 故收敛半径为R=+, 收敛域为(-, +). (4); 解 , 故收敛半径为R=3. 因为当x=3时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-3时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-3, 3). (5); 解 , 故收敛半径为. 因为当时, 幂级数成为, 是收。</p><p>8、习题11-5 1. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: (1)ln3(误差不超过0.0001); 解 , . 又 , 故 , . 因而取n=6, 此时. (2)(误差不超过0.001); 解 , . 由于 , 故 . 因此取n=4得. (3)(误差不超过0.00001); 解 , . 由于 , , 故 . (4)cos 2(误差不超过0.0001). 解 , . 由于 , , 故 . 2. 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值: (1)(误差不超过0.0001); 解。</p><p>9、习题12-111. 试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y-xy-x=1; 解 设方程的解为, 代入方程得, 即 . 可见 a1-1=0, 2a2-a0-1=0, (n+2)an+2-an=0(n=1, 2, ), 于是 , , , , , , , . 所以 , 即原方程的通解为. (2)y+xy+y=0; 解 设方程的解为, 代入方程得, 即 , 于是 , , . 所以 , 即原方程的通解为. (3)xy-(x+m。</p><p>10、习题9-31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域W分别是: (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为W=(x, y, z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;解 积分区域可表示为, 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;解 曲积分区域可表示为, 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2与z=2-x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0), , z=0所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 曲积分区域可表示为, 于是 . 提示: 区域W的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平。</p><p>11、习题9-21. 计算下列二重积分: (1), 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1;解 积分区域可表示为D: -1x1, -1y1. 于是. (2), 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D: 0x2, 0y2-x. 于是. (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1;解 . (4), 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D: 0xp, 0yx. 于是, .。</p><p>12、第二节 洛必达法则,一、 型、 型未定式,定义,函数 f (x)、 F (x)都趋于零,例如,或都趋于无穷大，,型未定式。,洛必达法则1：,证 设,则有,例1,解,=2,洛必达法则1：,都是无穷大,洛必达法则2：,例2,解,=0,=0,练习题,二、其它未定式,步骤:,例5,解,例6,解,步骤:,步骤:,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,-1,0,三、小结。</p><p>13、二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,2。</p><p>14、几何意义,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,反常积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,重要定理、 牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,重要公式,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、近似、求和、取极限.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3、定积分的几何意义,性质1,性质2,性质3,4、定积分的性质,性质4,性质5 （估值定理）,性质6 (定积分比较定理),推论：,（1）,（2）,性质7 (定积分中值定理),积分中值公式,注：与定积分性质有关的命题有三个： 估值。</p><p>15、2019/6/29,函数与极限,2,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,2019/6/29,函数与极限,3,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2019/6/29,函数与极限,4,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,2019/6/29,函数与极限,5,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称。</p><p>16、第五节 函数的微分,实例:正方形金属薄片,边长由x0变到,一般的函数y=f(x)的增量,？,则面积增加,一、微分的定义,定义 设,则称函数y=f(x)在点x0可微，并称,若,为函数y=f(x)在点x0相应于 的微分，记为：,问题：若函数y=f(x)在点x0可微，则A=？,y=f(x)在x0可微,若y=f(x)在x0可微，则,则y=f(x)在x0可导，且,定理 若y=f(x)在x0可微，则y=f(x)在x0可导， 且,若y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可微， 称y=f(x)开区间(a,b)内可微，其微分为：,例1 求函数 y=x3, 当 x=2, x=0.02时的微分.,解,y=f(x)在x可微,当x为自变量时：,例2 设 求dy,解,y=f(x)在点x。</p><p>17、引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、如何学习高等数学 ?。</p><p>18、第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案：一、填空题1.点关于轴的对称点为;关于平面的对称点为；关于原点的对称点为.2. 平行于=1，1，1的单位向量为；若向量与向量平行，为 .3.已知两点和，则向量在三个坐标轴上的投影分别是 1 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是 、 、, 2 ,方向余弦 、 、 , 方向角 、。</p>