公式微积分基本公式

公式微积分基本公式Tag内容描述：<p>1、在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。,微积分基本公式,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,一般情况,注,此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变。</p><p>2、第五章 定积分,第二节 微积分基本公式,引 言,积分学要解决两个问题:,第一个问题是原函数的求,法问题,我们在第4章已经对它做了讨论;,第二个问,题就是定积分的计算问题.,如果我们要按定积分的,定义来计算定积分,那将是十分困难的.,因此,一种计算定积分的有效方法,键.,我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分,作为积分和的极限的概念,寻求,但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个,概念之间存在着的深刻的内在联系,即所谓的”微,便成为积分学发展的关,是完全不相干的两个概念.,引 言,但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个,。</p><p>3、1,一、位置函数与速度函数之间的联系,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,6.2 微积分基本公式,2,设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为,一、位置函数与速度函数之间的联系,上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？,即,3,二、积分上限的函数及其导数,则积分上限的函数,证明,有,定理1 若,4,若F(x)是连续函数f(x)在区间a, b上。</p><p>4、第五章 第三讲,复习: 微积分基本公式,一、定积分的换元积分法,第五章 定 积 分,定积分的换元积分法与分部积分法,二、定积分的分部积分法,定积分的换元积分法,定理,换元公式,一、定积分的换元积分法,则,应用换元公式时应注意:,例1 计算,解2,例 2 计算,解 用定积分换元法.,则 x = t2 ，,dx = 2tdt，,于是,例 3 设函数 f (x) 在对称区间- a, a上连续，,求证：,(2) 当 f (x) 为偶函数时，,(3) 当 f (x) 为奇函数时，,证 (1) 根据定积分性质 4，,则,则,(1),得,课本第86页,对式右端第一个积分用换元积分法，,令 x = - t，,则 dx = - dt，,于是,。</p><p>5、在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。,微积分基本公式,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,一般情况,注,此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变。</p><p>6、课前练习,证,（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）,性质5(估值定理),定积分的性质,解：,例. 估计 的值,定积分的性质,性质6（定积分中值定理）,积分中值公式,定积分的性质,积分中值公式的几何解释：,定积分的性质,Fundamental Theorem of Calculus,微,积,分,电,子,教,案,6.3 微积分基本公式,三、牛顿莱布尼兹公式,a,b,x,y,o,一、积分上限函数,二、微积分基本定理,一、积分上限函数,设函数f(x)在a,b上连续，对xa,b ，则f(x)在部分区间a, x上连续，因而可积。 即定积分,称为积分上限函数,或变上限积分,。</p><p>7、二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、问题的提出,第二节,微积分的基本公式,第五章,Newton,Leibniz,微积分学的创始人,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,Newton,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文。</p><p>8、1,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、小结,2,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,3,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,4,1、积分上限函数的性质,证,5,由积分中值定理得,6,7,8,例3 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,9,证,10,11,证,令,12,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,13,定理 3（微积分基本公。</p><p>9、二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼茨公式,一、引例,第二节,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 其他变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,三、牛顿 莱布尼茨公式,( 牛顿 - 莱布尼茨公式),证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,或,例1. 计算,解:。</p><p>10、第三节 微积分基本公式,基本问题：,（1）定积分与原函数或不定积分之间的联系；,（2）连续函数一定存在原函数；,（3）提供计算定积分的有效而有简便的方法。,（一）变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系,0,a,b,t,t,设物体在 t 时刻的位置为：,速度为：,速度函数 v (t) 在时间区间 a , b 上的定积 分等于其原函数 s (t) 在区间端点的函数值之差,上述特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有 普遍性。,物体在时段 a , b 上 经过的距离为：,（二）积分上限函数及其导数,设 f (x) 在区间 a , b 上连续，x 为区间 a , b 内的任意一点。</p><p>11、1,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、小结,2,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,3,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,4,1、积分上限函数的性质,证,5,由积分中值定理得,6,7,8,例3 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,9,证,10,11,证,令,12,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,13,定理 3（微积分基本公。</p><p>12、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充,证,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为。</p><p>13、第二讲 微积分基本公式,内容提要 1. 变上限的定积分； 2.牛顿莱布尼兹公式 。 教学要求 1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法； 2.熟悉牛顿莱布尼兹公式 。,记为,称它为变上限定积分所确定的函数（ 积分上限函数或变上限积分）。,一、积分上限函数,定理1,则变上限定积分,注：（1）定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,（2）变限积分求导:,解,解,解,例3 求极限,解,解:,原式,一般地，若,?,设物体作直线运动，,其速度 ，,若已知路程函数,的路程也可表示为,内所经过的路程为,二、牛顿莱布尼兹公式,定理2,微积分基本公式表明：,注意,。</p><p>14、1,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、小结,2,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,3,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,4,1、积分上限函数的性质,证,5,由积分中值定理得,6,7,8,例3 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,9,证,10,11,证,令,12,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,13,定理 3（微积分基本公。</p><p>15、1,一、引例,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,第二节 微积分基本公式,2,或,一、引例,3,4,积分上限的函数,二、积分上限的函数及其导数,5, 积分上限的函数的性质,证,6,由积分中值定理得,证毕.,7, 积分上限的函数的求导公式,8,9,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,10,证,11,12,证,令,13,定理 2（原函数存在定理）,定理 2 的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是必然存在的.,（2）初步揭示了定积分与原函数之间的联系.,14,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,15,牛顿莱布尼茨公式,16,微积分基本公。</p><p>16、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出：,微积分基本公式：,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充,证,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意。</p><p>17、第三章 微积分基本公式,一 问题的提出 二 积分上限函数及其导数 三 牛顿莱布尼兹公式 四 小结,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨。</p>