函数的凹凸性

函数的凹凸性Tag内容描述：<p>1、数学分析教案5. 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目的 掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学要求 弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学重点 利用导数研究函数的凸性教学难点 利用凸性证明相关命题教学方法 系统讲授法演示例题教学程序l 引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系。什么叫函数的凸性呢？我们先以两个。</p><p>2、下页 上页下页首页 定理 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导. 一、单调性的判别法 (1)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上单调递增; (2)若在(a,b)内f (x)0,则f ()0 f(x)0,在a,b上单调递增 若在a,b内 f (x)0,在a,b上单调递减 上页下页首页 例1 讨论函数y=ex-x-1的单调性 解 定义域D= (-, +) 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性 函数在(-,0)单调递减。 函数在(0,)单调递增。 上页下页首页 单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的。</p><p>3、曲线的凹凸性,一、曲线的凹凸性,二、曲线的拐点及其求法,一、曲线的凹凸性,问题: 如何研究曲线的弯曲方向?,凹（上凹）,凸（下凹）,定义,如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）；,如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）.,x1,x2,x,y,o,1,2,凹（上凹）,凸（下凹）,定理2.12,例1,解,例2,例2,解,注意到,例3,例3,解,定义： 连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,说明： 拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数 f (x) 由大于。</p><p>4、1,问题：如何研究曲线的凹凸性?,第五节 函数的凹凸性与拐点,在绘制函数图像时, 仅知道函数的单调性(函数是上升,还是下降）是不够的,还需知道曲线的弯曲方向.,曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.,曲线的凹凸性,2,图形上任意弧段位于,图形上任意弧段位于,所张弦的下方：凹,所张弦的上方：凸,凹,凸,一、曲线凹凸性的定义,（上凹、下凸）,（下凹、上凸）,3,知识回顾：,1、函数单调性的判别法则,定理,定理(极值的必要条件),2、极值的充分、必要条件,4,极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间,的分界点.,5,定理3(极值的第二充分条件)。</p><p>5、4.2 函数的凹凸性,函数凹凸性的定义 函数凹凸的判定 曲线的拐点及其求法,1、函数凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,2、函数凹凸的判定,定理1,即f (x)在(a,b)内是凹的。,例1,解,注意到,3、曲线的拐点及其求法,定义,注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,方法1:,拐点的求法,证,例4,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点。</p><p>6、4.4 函数的凹凸性与函数的作图,4.4.1 曲线的凹凸性与拐点,4.4.2 曲线的渐近线,4.4.3 函数的作图,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,定义4.2 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸),4.4.1 曲线的凹凸性与拐点,曲线凹凸的判定:,定理3.10 设函数 在区间 内存在二阶导数，,(2)若 时，恒有 ，则曲线 在 内下凹(简称凸的),(1)若 时，恒有 ，。</p><p>7、一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案。</p><p>8、函数的凹凸性与拐点,1.函数y=f(x)单调性的判定,K切=f (x)0 y单调递增,凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方.,凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方.,K切=f (x)0 y单调递减,x0,y0,p,x0,y0,p,x,y,y,x,o,o,2.几何特征,连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.,一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. 若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.,x,y,o,a,b,x,y,o,曲线的凹凸与拐点,a,b,1.几何特征,凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.,凸型曲线:切线的斜率。</p><p>9、4.2函数的凹凸性,函数凹凸性的定义函数凹凸的判定曲线的拐点及其求法,1、函数凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,2、函数凹凸的判定,定理1,即f(x)在(a,b)内是凹的。,例1,解,注意到,3、曲线的拐点及其求法,定义,注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,方法1:,拐点。</p><p>10、高考必考 函数的凹凸性在高考中的应用 目的 了解函数的凹凸性 掌握增量法解决凹凸曲线问题 培养学生探索创新能力 鼓励学生进行研究型学习 教学重点 掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点 函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程 一 课题导入 1 2013届高三第一次月考试题12得分统计表 班级 考试人数 答对人数 答错人数 正确率 高三 1 班 理 54 19 35 35 1 高三 11 班 文 61。</p><p>11、4.2,函数的凹凸性,?,函数凹凸性的定义,?,函数凹凸的判定,?,曲线的拐点及其求法,1,、函数凹凸的定义,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,x,y,o,1,x,2,x,),(,x,f,y,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,x,y,o,),(,x,f,y,?,1,x,2,x,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,.,2,/,),(,),(,),2,(,),(,2,1,2,1,2,1,2,1。</p>