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函数的凹凸性与拐点,1.函数y=f(x)单调性的判定,K切=f (x)0 y单调递增,凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方.,凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方.,K切=f (x)0 y单调递减,x0,y0,p,x0,y0,p,x,y,y,x,o,o,2.几何特征,连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.,一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. 若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.,x,y,o,a,b,x,y,o,曲线的凹凸与拐点,a,b,1.几何特征,凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.,凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.,连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的 分界点称为拐点.,2.结论:,二.定理:,三.定义:,(A)例1.判定y=ax+bx+c的凹凸性. (a0),解: 定义域为(,+),y=2ax+b,当a0时，y“0,曲线y=ax+bx+c在 (,+)内是凹的.,当a0时，y“0,曲线y=ax+bx+c在 (,+)内是凸的.,注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。,y“=2a,例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点,解：（1）定义域为（,+）,（2）y=4x6x,y“=12x12x=12x(x1),（4）列表,x,y,y,（，0）,+,0,0,（0，1）,1,0,（1，+）,+,已知曲线的凹区间为（，0）（1，+）， 凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.,解：（1）定义域为（，+）,（2）y=8(2x-1),（3）显然x (,+), y“0,凹区间（，+），无拐点,y“=48(2x-1),1.下列结论是否正确,（1）.由f“(x0)=0所确定的点(x0,f(x0)一定是拐点.,2.求下列曲线的凹凸区间与拐点,(B)（2）y=ln(1+x),（2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减 且凹向上.,练习(B),小结:,作业:,1.如何来研究函数的凹凸性.,2.凹与凸的定义 , 拐点的定义.,3.凹与凸的
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