函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值Tag内容描述：<p>1、返回上页下页目录 第五节 函数的极值与最大值、最小值 第三章 四、最值问题 三、极值的第二充分条件 二、极值的第一充分条件 （Extremum & Extremes of Function） 一、复习引入 五、小结与思考练习 Date1 返回上页下页目录 （Introduction）一、复习引入 Date2 返回上页下页目录 Date3 返回上页下页目录 二、第一充分条件（The First Sufficient Condition） （极小值） Date4 返回上页下页目录 （是极值点情形） （不是极值点情形） Date5 返回上页下页目录 三、第二充分条件（The Second Sufficient Condition） Date6 返回上页下页目。</p><p>2、3.5 函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,提问： f(a)和 f(b)是极值吗？,函数的极值,一、函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考： 观察极值与切线的关系.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理1(必要条件),讨论： 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.,设函数f(x)。</p><p>3、1,函数的极值及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的极值与最值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(extreme value),2,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,一、函数的极值及其求法,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,3,函数极值,-局部性.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值.,4,定理1(必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2. 极值的必要条件,必是驻点,费马引理,回忆,极值,5,极值点也可能是导数不存在的点.,如,但,怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点。</p><p>4、第五节 函数的极值与最大值最小值,（二）,一、最值的求法,二、应用举例,三、小结 思考题,一、最值的求法,最值问题：,在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。,最值定义：,函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。,最值与极值的区别：,极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。,极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。,从以上。</p><p>5、第五节函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,函数的极值,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,一、函数的极值及其求法,对常见函数, 极值可能出现 在导数为 0 或不存在的点.,函数的极值是函数的 局部性质.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理1(必要条件),思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？,思考: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值。</p><p>6、二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,一、函数的极值及其求法,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 (P146例4),为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,函数极值的求法,费马(fermat)引理,-必要条件,在驻点或者是连续不可导点中去寻找.,因此寻求极值点的方法:,注意:,例如,定理 1 (极值第一判别法),(是极值点情形),且在空心邻域,内有导数,求极值的步骤:,(不是极值点情形),(1)给出定义域,并找出定义。</p><p>7、2019/7/6,1,五 小结与思考判断题,一 问题的提出,二 函数极值的定义,三 函数极值点的必要与充分条件,第五节 函数极值与最大 值 最小值,四 最值的问题,2019/7/6,2,一、问题的提出,2019/7/6,3,一般地,2019/7/6,4,二 函数极值的定义,定义,2019/7/6,5,函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同； 注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值.,2019/7/6,6,三、函数极值点的必要与充分条件,1、(必要条件),注1:,例如,由费马定理易得函数取得极值的必要条件，,注2:,2019/7/6,。</p><p>8、第五节 函数的极值与最大值最小值,定义 设函数f(x)在点x0之某 邻域内有定义,若对于该邻域 内的一切x(x0除外),恒有,.,f(x0)f(x) (或f(x0)f(x) )则称f(x)在点x0处取得极大值(或极 小值),把x0点称为f(x)的极大值点(或极小值点) 函数的极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小 值点统称为极值点,由函数极值之定义可知,其概念是一个局部性的概念. 函数在某区间内某一点取得极大值(或极小值),在已给区 间内,函数可能取得多个极大值和极小值. 在图中我们可 看到极值处的导数是水平的,即可导函数在极值点的导数 为0.,定理1(必要条件) 若函数f(x)。</p><p>9、2.9 函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值,二、函数的最大值和最小值,一、函数的极值,1. 函数极值的定义,2.9 函数的极值与最大值最小值,定义1,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,2.9 函数的极值与最大值最小值,函数的极大值、极小值,是局部的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值，在整个定义域上，某一点的极大值，甚至可能小于极小值.,最大值与最小值,只是一点附近的,极大值,极小值,2.9 函数的极值与最大值最小值,2. 极值的必要条件,极值,证明略. (费马引理),导数等于零的点称为函数的驻点.,2.9 函数。</p><p>10、二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,一、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 ,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂。</p><p>11、3.5函数的极值与最大值最小值,函数极值的定义 函数极值的求法 最值的求法 应用举例,一、函数极值的定义,定义,使函数取得极值的点称为极值点.,极 值,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,极值点,驻点,可导,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),定理2(第一充分条件),(不是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),(是极值点情形),例1 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求可能的极值点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,(不是极。</p><p>12、3.5函数的极值与最大值最小值,函数极值的定义 函数极值的求法 最值的求法 应用举例,一、函数极值的定义,定义,使函数取得极值的点称为极值点.,极 值,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,极值点,驻点,可导,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),定理2(第一充分条件),(不是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),(是极值点情形),例1 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求可能的极值点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,(不是极。</p><p>13、二 最大值与最小值 一 函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三章 三 最优化问题及其应用 定义 在其中当 时 1 2 一 函数的极值及其求法 且在处取得极值 那么 根据上述定义和费马定理可得如下定理。</p><p>14、第五节函数的极值与最大值最小值 定义设函数f x 在点x0之某邻域内有定义 若对于该邻域内的一切x x0除外 恒有 f x0 f x 或f x0 f x 则称f x 在点x0处取得极大值 或极小值 把x0点称为f x 的极大值点 或极小值点 函数的。</p>