函数极限的定义

函数极限的定义Tag内容描述：<p>1、2.2.1函数极限的定义 A. 自变量趋于有限值时函数的极限 下一页继续 上一页下一页 返回上一页 定义 说明 极限的几何解释 例2. 例3. 例4. 例5. 例6. 例7. 左极限 右极限 B、单侧极限 例1. 定理 1 极限存在的充要条件 例2. 例3. 例4. 例5. 例6. 解: C、 定义 几何解释 例1. 例2. 水平渐近线 例3. 例8.。</p><p>2、教学目标 1、理解函数极限的“-”，“-M”定义 及单侧极限 概念； 2、掌握函数极限的基本性质及两个重要极限； 3、理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。 第三章 函数极限 定义 1 的几何意 义如下图所示， 对任给的 0e ，在坐 标平面上平行于x轴的两条直 线 e+= Ay 与 e-= Ay ，围 成以直线 Ay = 为中心线、宽为 e2 的带形区域；定 义中的“当 Mx 时有 ( )e- A xf ”表示：在直 线 Mx = 的右方，曲 线 ( )xf y = 全部落在 这个带形区 域之内。如果正数 e给的小一点，即当 带形区域更窄一点，那 么直线 M。</p><p>3、9.23课堂回顾,数列: 研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性唯一性，保号性， 包序性，夹逼性,求数列的极限: 极限运算法则,1.3.1 函数极限的概念,第三节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一切 , 所对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作,2.另两种情形:,3.几何解释:,例1,证,例2 试证： 0 证：,二、自变量趋向有。</p><p>4、2.4 函数的极限的定义 与基本理论,一、极限的定义,问题 :,如何用描述?,定义4.1 （邻域）,定义4.2（函数极限）,注1：,注2：,注3：,几何意义,例1,证,例2,证,函数在点x=1处没有定义.,定义4.3（极限不存在的定义）,例2,证明,二、函数极限的性质,证明：,性质4.1.（唯一性）,证明：,性质4.2.（局部有界性）,性质4.3. (保序性),证明：,性质4.4(保号性),证明：,性质4.5(夹逼定理),证明：,例3 求,解：如图易得,三、极限的四则运算性质,定理4.1（函数极限四则运算性质）,定理4.2（复合函数的极限）,证明：,注：,定理4.3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建。</p><p>5、第二节,函数极限的概念,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例2,证,例3,证,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,例5,证,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,推论,3.不等式性质,定理(保序性),定理(保号性),推论,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证,例如,函数极限与数。</p><p>6、第三节 函数极限的定义,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,四、函数极限的性质,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,1. x +时 f (x) 的极限,定义 设 f(x) 在 x a (a0)有定义 , 对任意给定的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时，恒有| f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 .,几何意义,例1,证,2. x 时 f (x) 的极限,几何意义,例2,证,3. x 时f(x)的极限,定理：,几何意义,。</p><p>7、第三节 函数极限的定义,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,四、函数极限的性质,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,1. x +时 f (x) 的极限,定义 设 f(x) 在 x a (a0)有定义 , 对任意给定的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时，恒有| f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 .,几何意义,例1,证,2. x 时 f (x) 的极限,几何意义,例2,证,3. x 时f(x)的极限,定理：,几何意义,例3,证,。</p><p>8、第三节 函数极限的定义,(1),(2),一、函数在有限点处的极限,1、定义,定义1：,由此，不难得到：,定义2：,说明：,注意：,例1、,注意：,例2、,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称基本初等函数 .,证：,证明下列结论：基本初等函数在其定义域内任一点的极限值等于它在该点的函数值.,2、单侧极限,形如下图的函数称分段函数：,定义3：,定理：,例3、,求下列函数极限：,问题：,什么时候用左右极限？,二、函数在无穷远处的极限,定义4：,定义5：,定义6：,说明：,渐近线：,P无限远离原点的情况：,例4、,例5、,函数极限的统一定义,(。</p><p>9、第三节 函数极限的定义,一、函数在有限点处的极限,在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.,引例 设函数,尽管函数在点 处没有定义，,但当 无限趋近于1而不等于1时，,相应 无限趋近于2.,或,定义 设函数 在点 的某个空心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 对于满足 的一切 ，都有,那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为,函数极限 的几何意义,对于任意 ，,对满足 的。</p><p>10、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五讲 函数极限的概念和性质,函数的极限与连续性,第一节 函数的极限与性质,三. 极限定义及定理小结,四. 函数极限的基本性质,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.,的图形可以看出:,如何描述它？,有问题没有？,好像没有问题.,定义,想想：如何从几何的角度来表示该定义？,将图形对称过去后, 你有什么想法?,将图形对称,定义,现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?,现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?,定。</p><p>11、第三节 函数极限的定义,(1),(2),一、函数在有限点处的极限,1、定义,定义1：,由此，不难得到：,定义2：,说明：,注意：,例1、,注意：,例2、,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称基本初等函数 .,证：,证明下列结论：基本初等函数在其定义域内任一点的极限值等于它在该点的函数值.,2、单侧极限,形如下图的函数称分段函数：,定义3：,定理：,例3、,求下列函数极限：,问题：,什么时候用左右极限？,二、函数在无穷远处的极限,定义4：,定义5：,定义6：,说明：,渐近线：,P无限远离原点的情况：,例4、,例5、,函数极限的统一定义,(。</p><p>12、1,第三节 函数的极限,第四节 无穷大与无穷小,第一章,函数与极限,2,一、自变量趋于无穷大时的函数极限,y,x,0,1,2,3,1,2,3,4,3,4,考虑x0时,x0时,5,则,必有,成立,6,7,定理一,例4 讨论下列极限,解,7,9,二.自变量趋于有限值时函数的极限,问：与有关系吗？,10,当,时,11,极限的 定义,则,定理二,12,函数f(x)当,13,例5,解,描出函数,的图形，利用图形说出下列 每个极限的值（如果存在的话）,不存在,问：,与f(x0)存在与否无关,14,三.函数极限的性质,定理1 函数极限的唯一性,定理2 函数极限的局部有界性,定理3 函数极限的局部保号性(P.37),定理4 函数。</p><p>13、一、 引入问题 二、 数列极限的定义 三、 函数极限的定义,极 限,一、 引入问题,问题3： 庄子曾说过：“一尺之棰，日截其半，万世不竭。”,二、 数列的极限的定义,数列极限的定义：,数列的定义：,注意：,三、函数极限的极限,定义：,定义：,定义：,定义：,这常被用来作为判断函数在某一点处极限是否存在的依据,数列是一种特殊的函数，其自变量只能取正整数；数列若存在极限则只能是一个确定的常数；函数的极限分几种情况，有的自变量趋向于无穷大，有的自变量趋向于一个确定的数；函数在某一点处极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等。</p><p>14、下 午 好,第三节 函数极限的定义,一、函数在无穷远处的极限 二、函数在有限点处的极限 三、小结与思考题,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近于A”.,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例2,证,例3,证,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,例5,证,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,三、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,。</p><p>15、二、函数极限的定义,1.自变量趋于有限值时函数的极限,（1）定义：,（2）几何解释:,注意：,例1,证,例2,证,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,例4,证,（3）单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例5,证,播放,2、自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,通过。</p><p>16、2.2.1函数极限的定义,A.自变量趋于有限值时函数的极限,下一页,继续,上一页,下一页,返回,上一页,定义,说明,极限的几何解释,例2.,例3.,例4.,例5.,例6.,例7.,左极限,右极限,B、单侧极限,例1.,定理1,极限存在的充要条件,例2.,例3.,例4。</p><p>17、1函数极限概念 一 x趋于 时的函数极限 二 x趋于x0时的函数极限 三 单侧极限 在本章 我们将讨论函数极限的基本 联系 它们之间的纽带就是归结原理 函数极限与数列极限之间有着密切的 概念和重要性质 作为数列极限的推。</p><p>18、2010年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1 函数极限的概念 2010年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2 从数列极限到函数极限 数列极限 函数极限 连续自变量 离散自变量 无穷大 有限值 左侧 右侧 2010年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3 自变量x趋向无穷大时函数的极限 2010年8月 南京航空航天大学理学院数学系 4 通过上面演示实验的观察 问题 如何用数学语言刻划函数 无限。</p>