函数展开为幂级数

函数展开为幂级数Tag内容描述：<p>1、9-5 函数展开成幂级数 1 定理 若幂级数的收敛半径则其和函 在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即 收敛域 1.1.幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质: : 复习 2 求部分和式的极限 二、幂级数和函数的求法 求和 逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 （在收敛区间内） 3 第五节 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法 直接展开法 间接展开法 4 则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数如果能找。</p><p>2、函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 证明 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 逐项求导任意次,得 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 问题 。</p><p>3、两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,7.5 函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为马克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,定义 若函数,的某邻域内。</p><p>4、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解。</p><p>5、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意。</p><p>6、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内。</p><p>7、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、欧拉公式,四、小结,第五节 函数的泰勒级数,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接。</p><p>8、一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐。</p><p>9、一、Taylor 级数,熟知,现讨论任意 f(x) 展开成如下形式的幂级数问题：,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 各个系数是什么?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项。</p><p>10、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由。</p><p>11、11.4 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,上节例题:,一般地, 对于已知函数f(x), 是否存在幂级数使得在其收敛域内以f(x)为和函数?,1. 如果能展开, an的表示式是什么? 2. 展开式是否唯一? 3. 在什么条件下才能展开成幂级数?,问题:,定理1: 如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导数, 且在U(x0)内能展开成 (x x0) 的幂级数, 即,则其系数,且展开式是唯一的.,该幂级数的系数称为泰勒系数. 所展开的幂级数称为泰勒级数. 特别地, 当x0=0时的泰勒级数称为麦克劳林级数. 即,泰勒级数,麦克劳林级数,问题: 泰勒级数在收敛区间内是否收敛于f(x)? 即,?,不一定. 。</p><p>12、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第二十四讲,2,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,3,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,4,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,。</p><p>13、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的。</p><p>14、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为,则在,复习:,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,拉格朗日余项 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,麦克劳林级数 .,定理1,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式余项满足:,。</p><p>15、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,11.4 函数展开成幂级数,函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.,一、泰勒级数,复习,根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内,等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.,一、泰勒级数,泰勒级数,如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数,称为函数f(x)。</p><p>16、第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,?,问题:,3.函数的幂级数展开式是否唯一?,1.函数能展开成幂级数的条件?,4.何用?,(近似计算,求解微分方程等),泰勒公式:,泰勒中值定理(上册,P138),泰勒公式:,泰勒中值定理(上册,P138),定理1,证明,定理2,泰勒系数,推论,定义,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,二、函数展开成幂级数的方法,例1,解,例2,解,2.间接法,根据展开式的唯一性,利用常见展开式,并通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求一个函数的幂级数展开式的方法.,例3,解:,例4,解:,例5,解,了解一个函数的泰勒级数收敛于该函数的。</p><p>17、7.5 函数展开成幂级数,一 泰勒级数,二 函数展开成幂级数,一 泰勒公式与泰勒级数,1.泰勒公式：,2.麦克劳林公式,3.定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数.,二 函数展开成幂级数,1. 麦克劳林级数直接展开法,设函数 f(x) 在区间（-R,R）内有任意阶导数，,且能,展开成x的幂级数,由可导性知，,例1 用直接展开法将函数,展成 x,的幂级数。,解 由于,则,幂级数为,因为,该幂级数收敛半径,收敛区间为,所以,例2 用直接展开法将函数,展成,x的幂级数。,解 由于,故,依次循环取0，1，0，-1，于是得级数。</p>