矩阵的相似对角化

矩阵的相似对角化Tag内容描述：<p>1、数 = = 线 性 代 5.3相似矩阵与矩阵的对角化 数 = = 线 性 代 定理 5 数 = = 线 性 代 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得 推论 若n阶矩阵A与对角阵 数 = = 线 性 代 定理 6 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与 对角矩阵相似 . 推论1 数 = = 线 性 代 推论 2 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 例3 设矩阵 解 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I。</p><p>2、5.2 矩阵的相似对角化,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,定义,对于 n 阶矩阵 A 和 B ，,则称 A 与 B 相似，,称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。,称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。,记为,若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得,或者称 A 相似于 B，,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,2. 相似矩阵的性质,定理,若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,证明,因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得,即 A 与 B 有相同的特征多项式。,从而 A 与 B 有相同的特征值。,故,一、相似矩阵。</p><p>3、第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件,一相似的定义,设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B,记作,（A等价于B： ）,问A是否相似于B？,因为存在可逆矩阵,使得,例如 已知,取,令,已知 求一个与A相似的矩阵B,即,则,对于可逆矩阵,对于可逆矩阵,一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个,因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有,不同，则 可能不同，,但都有 ,注,2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身,，则对于任意的可逆矩阵,设,1反身性：,2对称性：,3传递性：,二相似的性质,若 则 与 的特征值相同,若两对角阵和相似,和有什么关系？。</p><p>4、第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,矩阵对角化的步骤：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相。</p><p>5、第2节 相似矩阵与矩阵的对角化,一、相似矩阵及其性质,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,2.1 相似矩阵及其性质,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,例如，,因为,P-1AP,所以AB .,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： A A 对称性：若AB，则BA 传递性：若AB，BC，则 AC,下页,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B，,A与B有相同的特征多项式，,|lE-B|,=|P-1(lE)P -P-1AP |,=|lE-P-1AP|,=|P-1(lE-A)P|,=|P-1|lE-A。</p><p>6、第五章第二节,矩阵的相似与对角化,相似矩阵的定义及性质,定义,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系,P 可逆,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,性质3,性质2、3的逆均不真,利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式,我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,证明,用相似变换将方阵对角化,定理得证。</p><p>7、一、 相似矩阵及其性质,4.3相似矩阵与方阵的对角化,相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,相似矩阵的性质：,矩阵的相似关系是一种等价关系！,4.,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,证明 必要性：,二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,充分性：,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化（充分而不必要）,例1,。</p><p>8、线性代数教案 第 5 章 矩阵的相似对角化 第第 5 章章 矩阵的相似对角化 共矩阵的相似对角化 共 4 学时 学时 一 教学目标与基本要求一 教学目标与基本要求 1 掌握方阵的特征值和特征向量的概念与求法 2 了解相似矩阵。</p><p>9、1 第四章特征值与特征向量矩阵的相似对角化 第四章 2 本章介绍矩阵的特征值 特征向量以及矩阵的对角化问题 3 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义 一 基本概念 例如 4 说明 1 特征值问题是针对方阵而言的 2 特征向量。</p><p>10、5 2矩阵的相似对角化 一 相似矩阵的基本概念与性质 1 相似矩阵的概念 定义 对于n阶矩阵A和B 则称A与B相似 称对A所进行的运算为对A进行相似变换 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵 记为 若存在可逆的n阶方阵P使得 或者称A相似于B 一 相似矩阵的基本概念与性质 1 相似矩阵的概念 2 相似矩阵的性质 定理 若n阶矩阵A与B相似 则A与B有相同的特征多项式 证明 因A与B相似 即存在。</p>