矩阵相似和对角化

矩阵相似和对角化Tag内容描述：<p>1、1,二. 相似矩阵的定义及性质,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,2,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,3,其它的有关相似矩阵的性质：,(5),4,（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）,5,（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特。</p><p>2、只需寻找,3 对称方阵对角化和二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,本章中心,本章结构：,二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型,本节重点：,(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；,(2)求正交变换将二次型化为标准形。,复习,n 阶矩阵 A 可对角化,A有n 个线性无关的特征向量.,求n阶特征值和特征向量的方法：,1.,求特征多项式,就是n阶矩阵A的特征值；,2.,求特征方程,的根,的非零解，,。</p><p>3、第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件,一相似的定义,设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B,记作,（A等价于B： ）,问A是否相似于B？,因为存在可逆矩阵,使得,例如 已知,取,令,已知 求一个与A相似的矩阵B,即,则,对于可逆矩阵,对于可逆矩阵,一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个,因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有,不同，则 可能不同，,但都有 ,注,2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身,，则对于任意的可逆矩阵,设,1反身性：,2对称性：,3传递性：,二相似的性质,若 则 与 的特征值相同,若两对角阵和相似,和有什么关系？。</p><p>4、4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件,对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶 矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A 的许多原有的性质，在理论和应用方面都具 有重要意义,一.相似矩阵及其性质,由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是 对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P， 就可能使 成为对角矩阵,相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：,设A,B,C为n阶矩阵，则,相似矩阵还有下面的性质：,对于相似矩阵还有以下性质：,相似矩阵的行列式相等. 相似矩阵的秩相等. 相似矩阵或都可逆或都不可逆.,二.矩阵可。</p><p>5、第三节 相似矩阵与矩阵 对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、方阵可对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念,记作AB.,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,5. 若AB,则 |A| = |B|.,6. 若AB,则A与B同时可逆或同时不可逆;当可逆时,有 A-1B-1.,证明,注意: 该定理的逆定理不成立,即有相同特征多项式 的矩阵不一定相似. 例如:,推论 若 阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,证明,三、方阵可对角化的条件,命题得证.,说明,。</p><p>6、P12-1,3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件,相似矩阵及其性质,矩阵可对角化的条件,P12-2,一、相似矩阵及其性质,1. Def.: 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相似,记作,A B .,如 设,易验证,注,P12-3,一、相似矩阵及其性质,1. Def.: 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相似,记作,A B .,(1) 自反性: A A,(2) 对称性: 若 A B , 则 B A,2. 相似的性质,1) 设 A，B，C 为 n 阶矩阵，则,(3) 传递性: 若 A B , B C , 则 A C,2) 设矩阵 A B ，则 。</p><p>7、第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件,一相似的定义,设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得 则称A相似于B,记作,（A等价于B： ）,问A是否相似于B？,因为存在可逆矩阵,使得,例如 已知,取,令,已知 求一个与A相似的矩阵B,即,则,对于可逆矩阵,对于可逆矩阵,一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个,因为对于任意的 n 阶可逆矩阵 都有,不同，则 可能不同，,但都有 ,注,2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身,，则对于任意的可逆矩阵,设,1反身性：,2对称性：,3传递性：,二相似的性质,若 则 与 的特征值相同,若两对角阵和相似,和有什么关系？。</p><p>8、第五章第二节,矩阵的相似与对角化,相似矩阵的定义及性质,定义,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系,P 可逆,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,性质3,性质2、3的逆均不真,利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式,我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,证明,用相似变换将方阵对角化,定理得证。</p><p>9、第二节 相似矩阵和矩阵对角化,本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 。,相似矩阵的定义,定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称 ， 相似，记作 相似关系满足以下性质： （1）自反性： ； （2）对称性： ； （3）传递性：,一些有用的定理,定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使得,推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。,若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对角化 方阵 可对。</p><p>10、一、 相似矩阵及其性质,4.3相似矩阵与方阵的对角化,相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,相似矩阵的性质：,矩阵的相似关系是一种等价关系！,4.,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,证明 必要性：,二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,充分性：,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化（充分而不必要）,例1,。</p><p>11、4.2 相似矩阵与矩阵的对角化,一、相似矩阵及其性质 二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,1 相似矩阵及其性质,定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： A A 对称性：若AB，则BA 传递性：若AB，BC，则 AC,定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.。</p>