相似矩阵与矩阵可对角化的条.ppt

P12-1,3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件,相似矩阵及其性质,矩阵可对角化的条件,P12-2,一、相似矩阵及其性质,1. Def.: 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相似,记作,A B .,如 设,易验证,注,P12-3,一、相似矩阵及其性质,1. Def.: 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相似,记作,A B .,(1) 自反性: A A,(2) 对称性: 若 A B , 则 B A,2. 相似的性质,1) 设 A，B，C 为 n 阶矩阵，则,(3) 传递性: 若 A B , B C , 则 A C,2) 设矩阵 A B ，则 A , B 具有相同的特征值.,3) 设矩阵 A B ，则 Am Bm , 其中 m为正整数.,P12-4,一、相似矩阵及其性质,1. Def.: 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相似,记作,A B .,2. 相似的性质,2) 设矩阵 A B ，则 A , B 具有相同的特征值.,3) 设矩阵 A B ，则 Am Bm , 其中 m为正整数.,4) 相似矩阵的行列式相等.,5) 相似矩阵的秩相等.,6) 相似矩阵或都可逆或都不可逆. 当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.,P12-5,二、矩阵可对角化的条件,1.Def.: 若 n 阶矩阵 A 可以与一个 n 阶对角矩阵 相似， 则称 A 可对角化， 称为 A 的相似标准形.,2. Th.: n 阶矩阵 A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征 向量.,推论: 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值, 则 A 可对角化.,3.Th.: n 阶矩阵 A 可对角化 对于 A 的每一个 ni 重特征值 i , 特征矩阵 ( i E A ) 的秩等于 n ni ; 对于 A 的每一个 ni 重特征值 i , 齐次线性方程组 ( i E A ) X = 0 的基础解系中恰有 ni 个向量.,4. 判断矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P, 使 P-1AP = 的方法.,P12-6,例1 设有矩阵,(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ; (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一, 举例说明.,P12-7,例2 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似, 则求出 可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵, 并求 A5.,例3 设,相似于对角矩阵, 求 x与 y 应满足的条件.,P12-8,例4 设 3 阶矩阵 A 的特征值为,对应的特征向量依次为,求 A 和 A100 .,P12-9,相似与等价的关系,若两个矩阵相似，则它们一定等价; 反之，两个等价的矩阵不一定相似.,作业: 第143页第4题之(3); 第7题; 第8题,P12-10,2. 若34矩阵 A 的秩为2, 则( ) A中必有一个零行; A中必有两行元素成比例; A中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示; 通过初等行变换, 可将