两个重要极限极限

两个重要极限极限Tag内容描述：<p>1、1.4 两个重要的极限 1.4.1 我们先考察当 时，函数 的变化趋势： 0.958851 0.998334 0.999983 0.999999 由上表可以看出，当 时， 可以证明 推广 ： 例1.12 解 例1.13 解 例1.14 解 例1.15 求 解：原式= 思考： 例1.15 求 解 时， ，因此 当 例 解 1.4.2 我们先列表考察当 时，函数 的变化趋势. 1 10100100010000100000 2 2.59 2.7052.717 2.7182.71827 -10-100-1000-10000-100000 . 2.882.7322.7202.71832.71828 从上表可以看出，当 时，函数 的值无限接近于一个常数，可以证明， 这里证明从略 这个数是个无理数，它的值是 推广：若 例1.16。</p><p>2、2.6 两个重要的极限 定理2.11 (两边夹准则) 例1. 证明 证明：当 利用准则1， 第二章 下面给出一个判别数列极限收敛的准则 对于数列 称 为单调增加数列。 对于数列 称 为单调减少数列。 定理2.12（准则II）： 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 AOB 的面积 AOD的面积 故有 两个重要极限 ： 说明: 解: 解: 例4 、 解: 扩展：对于变量x，也有 也可以写为 说明: 例5 解: 令 例6 原式=解: 例7 解：原式= 令 作业：P93 23（1）（3）（5）（7）， 24（1）（3）（5）（7）。</p><p>3、第六节极限存在准则 两个重要极限,一 、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,上两式同时成立,max,2,1,N,N,N,=,取,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,第一个重要极限,当,时,注,注:,这是因为 令u=a(x) 则u0 。</p><p>4、例3. 写出下列函数由哪些函数复合而成的？,解：,分析：拆分复合函数的关键是引入中间变量,是由,复合而成的；,是由,复合而成的.,注:引入中间变量不唯一，故复合函数的分解也不唯一.,思考：,且仅用一个式子表示的函数 ,由基本初等函数,否则称为非初等函数 .,经过有限次四则运算或有限次函数,复合而成 ,称为初等函数 .,为初等函数.,3. 初等函数,也为初等函数.,如果是, 请将其分解为几个基本初等函数的结构.,例4 判断下列函数是否为初等函数,解：,它是由函数,复合而成；,| x |,它是由函数,复合而成；,* 尽可能少地引进中间变量。,* 每一个分解。</p><p>5、一、极限存在准则,1.夹逼准则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,下页,上页,首页,解,由夹逼定理得,例1,求,原式,而,下页,上页,首页,例,解,由夹逼定理得,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,下页,上页,首页,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,下页,上页,首页,例2,设,，证明,存在并求此极限；,解:,当,时,设,， 则,又,设,， 则,单增有上界，从而必有极限。,设,， 则,由,得,下页,上页,首页,( P57 , 题 4 (3) ),二、两个重要极限,(1),下页,上页,首页,下页,上页,首页,例3,解,下页,上页,首页,例4 求,第七节,(2),定义,例4,解,例5,解,下页,上。</p>