幂级数展开

幂级数展开Tag内容描述：<p>1、数学物理方法,幂级数展开,幂级数展开,复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结,复级数,复数项级数 形式：i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui 和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收敛：s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛,复级数,收敛性判别法 级数 i=1 ui 比值法 = limk|uk+1/uk| 1，发散。 根值法 = limk|uk|1/k 1，发散。,例： 判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qn 解： 1.比值法 = |q| |q|1，发散。 2.根值法 =|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1，发散。,复级数,复函项级数 形式：i=1 ui(z) 。</p><p>2、1,解,f()=2i(32+7+1), 根据柯西积分公式知,“数学是无穷的科学”赫尔曼.外尔,第三章 幂级数展开,3,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,4,无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3， wn， 写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？,为什么要研究级数？ (1) 级数可作为函数。</p><p>3、11.4 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,上节例题:,一般地, 对于已知函数f(x), 是否存在幂级数使得在其收敛域内以f(x)为和函数?,1. 如果能展开, an的表示式是什么? 2. 展开式是否唯一? 3. 在什么条件下才能展开成幂级数?,问题:,定理1: 如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导数, 且在U(x0)内能展开成 (x x0) 的幂级数, 即,则其系数,且展开式是唯一的.,该幂级数的系数称为泰勒系数. 所展开的幂级数称为泰勒级数. 特别地, 当x0=0时的泰勒级数称为麦克劳林级数. 即,泰勒级数,麦克劳林级数,问题: 泰勒级数在收敛区间内是否收敛于f(x)? 即,?,不一定. 。</p><p>4、第四节 函数的幂级数展开,问题导言：计算特殊数 值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值. 解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近. 关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数. 二是以何种方式来逼近给定函数. 用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数. 在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.,定理（泰勒公式） 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数, 则当 时有泰勒展开式,一、泰勒公式,马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有,（ 介于0与x之间）.,此展开式称为马克劳林公式 .,。</p><p>5、第三章 幂级数展开第三章 幂级数展开 3 1 复数项级数复数项级数 3 2 幂级数 3 3 泰勒级数表示 3 3 泰勒级数表示 3 4 解析延拓 3 5 洛朗级数展开 3 6 孤立奇点的分类 3 1 复数项级数 3 1 复数项级数 复数项级数 复数。</p><p>6、第三章 幂级数展开 3 1 复数项的级数 一 复数的无穷级数可表示为 1 12 1 kkn k wwwww 其中 kk wuiv 前 n 项和为 1 1 n nkkn k swwwww 11 nn kk kk uiv 当时级数 级数 n n s 1 k n w 故 111 n kkk kkk wuiv 一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合 收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面。</p><p>7、梁昆淼编 第四版 高等教育出版社 主讲 冯杰 第三章幂级数展开 3 2幂级数 3 3泰勒级数展开 3 4解析延拓 3 1复数项级数 3 5洛朗级数展开 3 6孤立奇点的分类 第一篇复变函数论 第三章幂级数展开 3 1复数项级数 它的每一项都可分为实部和虚部 那么它们的和为 一 复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义 这样 复数无穷项的收敛问题就归结为两个实数项级数 2 复数项级数的收敛判据 柯。</p><p>8、第三章 幂级数展开,3.1 复数项级数（数值级数）,令un的实部和虚部分别为n与n，则,一个复数级数 完全等价于两个实级数 和 ，,级数的收敛与发散,定义 复数级数,-定义 对于任意给定的 0，存在N = N( )，使得当n N时，有|Sn S| ，则复数项级数收敛.,几何意义：当n N时所有都落在在以S为圆心以 为半径的圆内. 也就是说当n N时所有的Sn都聚集在S点的邻域内.,绝对收敛。</p><p>9、数学物理方法,幂级数展开,幂级数展开,复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结,复级数,复数项级数 形式：i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui 和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收敛：s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛,复级数,收敛性判别法 级数 i=1 ui 比。</p><p>10、数学物理方法,幂级数展开,幂级数展开,复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结,复级数,复数项级数 形式：i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui 和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收敛：s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛,复级数,收敛性判别法 级数 i=1 ui 比。</p>