实变函数习题答案

实变函数习题答案Tag内容描述：<p>1、2011 1 1 f E a n x E f x a o f E a n x E f x a o n x E f x a o n x E f x a o n x E f x a o n x E f x a o 2 f E f E r n x E f x r o t rk rk t lim k rk t n x E f x t o k 1 n x E f x rk o n x E f x rk o。</p><p>2、习题 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证明下列集合等式 1 CABACBA 2 CBCACBA 3 CABACBA 证明 1 C B c CBAA cc CBAABA c CABA CABA 2 c CBAA C B cc CBCA CACA 3 C B c CBAA cc CBA CBA c CABA c CABA 2 证明下列命题 1 ABBA 的充分必要条件是 AB 2 ABBA 的充分。</p><p>3、第一章习题 2 ii 证明 对于 22 具体构造与之间的一个完全的一一映射 解 记中的有理数点集为 中的无理数点集为 作映射 所以 29 求证 中任一集合的导集是闭集 证明 若 则为闭集 否则 要证明为闭集 为的聚点 中含有的无穷多个点 也中含有的无穷多个点 从而为闭集 30 i 设是任意的两个集合 若 则 证明 为的聚点。</p><p>4、习题讲解,第二章 点集,7.证明： 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集,证明：利用A-B=ABc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 有限个闭集的交仍是闭集即得。,要证E=x|f(x)a是开集，只要证中的点都为内点,由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在0,当|x-x0|a,证明：任取x0 E =x|f(x)a,则f(x0 )a,类似可证x|f(x)a为开集, 从而x|f(x)a =x|f(x)ac是闭集,即U(x0 , ) E =x|f(x)a, 即x0为E的内点，从而E为开集；,注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性,另证：要证E=x|f(x)a是闭。</p><p>5、习题5参考解答 A组题 一 二 略 三 计算题 1 设 P0为 0 1中的三分 Cantor 康托 集 f x 100 xP 0 n xEn n 1 2 L 其中 En表示 P0的n阶邻接区间的并集 求 0 1 f x dx 2n 1 由康托集的构造知 En Ii n 其中 Ii n i 1 2 L。</p><p>6、第一章 习题解答1、证明 A(BC)(AB)(AC)证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此A(BC) (AB)(AC)(1)设x(AB) (AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC。</p><p>7、1.若 E 有界,则 m*E0,则对任意小于 m*E 的正数 c,恒有 E 的子集 E1,使 m*E=c 4.设 S1,S2,，Sn 是一些互不相交的可测集合，Ei 包含于 Si，i=1，2，3.n，求证 m*（E1 并 E2 并 E3.并 En）=m*E1+ m*E2+ +m*En 5.若 m*E=0，则 E 可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为 0 7.设 A，B。</p><p>8、实变函数练习题 一 选择题 1 的辐射角情况为 A有无穷多个 B有限个 C可能无穷可能有限 D不存在 2 如果则 A B C D 3 设为复数列 则 A级数收敛而级数不收敛 B级数不收敛而级数收敛 C级数和均收敛 D级数和均不收敛 4 的。</p><p>9、复习题1 一 判断 1 若N是自然数集 为正偶数集 则N与对等 对 2 由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集 对 3 若是上的有限个集 则下式 成立 对 4 任意多个开集的交集一定是开集 错 5 有限点集和可列点集都可。</p><p>10、1证明BAAB的充要条件是AB证明若BAAB，则ABAAB，故AB成立反之，若AB，则BAABABB，又XB，若XA，则XBAA，若XA，则XBABAA总有XBAA故BBAA，从而有BAAB。证毕2证明CABAB证明XAB，从而,XAXB，故,CXAXB，从而XAB，所以CABAB另一方面，CXAB，必有,CXAXB，故,XAXB，从而XAB，所以CABAB综合上两个包含式得CABAB证毕3证明定理4中的（3）（4），定理6（DEMORGAN公式）中的第二式和定理9证明定理4中的（3）若AB（），则AB证若XA，则对任意的，有XA，所以AB（）成立知XAB，故XB，这说明AB定理4中的（4）ABAB证若XAB，则有，使XABAB反过来，若。</p><p>11、实变函数习题答案 06 级数科院本科 2007 2008 第二学期 习习习题题题 1 第第第一一一组组组 1 设 fj x 是定义在 Rn上的函数列 试用点集 x fj x 1 k j k 1 2 表示 点集 x lim j fj x 0 证 x lim j fj x 0 S k 1 T N 1 S j N x f j x 1 k 事实上 设 x0 x lim j fj x 0 则存在 k0 使。</p><p>12、实变函数习题答案 06 级数科院本科 2007 2008 第二学期 习习习题题题 1 第第第一一一组组组 1 设 fj x 是定义在 Rn上的函数列 试用点集 x fj x 1 k j k 1 2 表示 点集 x lim j fj x 0 证 x lim j fj x 0 S k 1 T N 1。</p><p>13、第一章 习题解答1、证明 A(BC)(AB)(AC)证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此A(BC) (AB)(AC)(1)设x(AB) (AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC) A(BC)(2)由(1)、(2)得，A(BC)(AB)(AC) 。2、证明ABA(AB)(AB)BA(BC)(AB)(AC)(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)84(AB)(CD)(AC)(BD)A(AB)AB证明：A(AB)AC(AB)A(CACB)(ACA)(ACB)(ACB)AB(AB)B(AB)CB(ACB)(BCB)(ACB)AB(AB)(AC)(AB)C(AC)(AB)(CACC。</p><p>14、96 第二章 习题解答 1 证明的充要条件是对任意含有的邻域U 不一定以为中心 中 恒有异于的点属于 事实上 这样的还有无穷多个 而的充要条件则是有含的邻域U 同样 不一定以为中心 存在 使U 证明 1 充分性 用反证法 若。</p><p>15、实变函数论习题选解一、集合与基数1.证明集合关系式：（1）；（2）；（3）；（4）问成立的充要条件是什么？证 （1），（对偶律），（交对并的分配律），.（2）.（3）.（4）.证 必要性（左推右，用反证法）：若，则但，从而，于是；但，从而左边不等式不成立，矛盾！充分性（右推左，显然）：事实。</p><p>16、实变函数综合练习题 实变函数 综合训练题 一 含解答 一 选择题 单选题 1 下列集合关系成立的是 A A B C D 2 若是开集 则 B A B 的内部 C D 3 设是康托集 则 C A 是可数集 B 是开集 C D 4 设是中的可测集 是上的简单。</p><p>17、实变函数习题答案 06 级数科院本科 2007-2008 第二学期 习习习题题题 1 第第第一一一组组组 1. 设 fj(x) 是定义在 Rn上的函数列, 试用点集 x : fj(x) 1 k (j,k = 1,2,) 表示 点集 x : lim jfj(x) 0. 证: x : lim jfj(x) 0 = S k=1 T N=1 S。</p>