数学空间向量

数学空间向量Tag内容描述：<p>1、高考数学常考知识点之空间向量空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能。</p><p>2、空间向量与立体几何一、空间向量及其加减运算知识梳理知识点一空间向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； 单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上.不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.不正确，零向量的相反。</p><p>3、空间向量的数量积运算 一、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 的充要条件是存在实 数使 推论:如果 为经过已知点A且平行 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的 方向向量. O A B P a 若P为A,B中点, 则 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的。</p><p>4、1(2010辽宁理19）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）,因为， 所以CMSN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点，=, = .证。</p><p>5、空间向量的加减运算与数乘运算本试卷满分65+5分一、选择题（每小题5分，共25分）1在正方体ABCDA1B1C1D1中，三个向量不共面的是 ( )A. ， B. ， C.， D.，2在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是: ( )A. 2 B. C. D. 3已知向量与不共线，则，共面是存在两个非零常数，使的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4设P是ABC所在的平面内的一点，+=22，则 ()A. +=B. += C. D. A. B. C. D.5已知四面体ABCD中， (。</p><p>6、专题验收评估(四) 立体几何与空间向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥C正方体 D圆柱解析：选D球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形2(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml BmnCnl Dmn解析：选Cl，l.n，nl，故选C。</p><p>7、课时达标检测(四十一) 利用空间向量求空间角一、全员必做题1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设CACBCC12，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，cos，.异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.2(2016大连二模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA12，AC2.M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQQC1.(1)证明：PQ平面ABC；(2)若直线BA1与平面ABM所成角的。</p><p>8、2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第43讲 空间向量及其运算实战演练 理1(2017广东模拟)已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则(D)A(bca)B(abc)C(abc)D(cab)解析：由题意知()，因为a，b，c，所以(cab)故选D.2(2017浙江模拟)已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为(D)A平行四边形B梯形C长方形D空间四边形解析：由已知得0，0，0，0，由夹角的定义知B，C，D，A均为钝角，故A，B，C不正确3(2017四川模拟)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是(A)A2，B，C3,2。</p><p>9、课时达标检测（四十） 空间向量及其运算和空间位置关系练基础小题强化运算能力1若a(2x,1,3)，b(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则()Ax1 BxCx Dx解析：选Ca与b共线，x.2已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：选B由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)3空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为()A共线 B共面 C不共面 D无法确定解析：选C(2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4)，由不存在实数，使成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设x。</p><p>10、2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算和空间位置关系真题演练集训 理 新人教A版“两向量同向”意义不清致误分析典例已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________错因分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：a，b方向相同或相反解析由题意知，ab，所以，即把代入，得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2或x1.当x2时，y6；当x1，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案1,3温馨提醒1两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行。</p><p>11、第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算试题 理 北师大版1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)空间向量基本定理如果向量e1, e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3。</p><p>12、第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算教师用书 理 新人教版1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个。</p><p>13、2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第6讲 空间向量及其运算试题 理 新人教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017黄冈模拟)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.(2017海南模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，。</p><p>14、2空间向量的运算第1课时空间向量的加、减法及数乘运算课后训练案巩固提升A组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式化简后的结果是()A.B.C.D.解析:+()=.答案:A2.设a,b是两个不共线的向量,R,若a+b=0,则()A.a=b=0B.=0C.=0,b=0D.=0,a=0解析:a,b是两个不共线的向量,a0,b0,只有B正确.答案:B3.设空间四点O,A,B,P满足+t,其中0<t<1,则有()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段BA的延长线上D.点P不一定在直线AB上解析:0<t<1,点P在线段AB上.答案:A4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,有下列结论:是一对相反向量;是一对相反向量;是一对。</p><p>15、8.5空间向量及其应用、空间角考点一空间角与距离14.(2014天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明BEDC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角F-AB-P的余弦值.解析解法一:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).(1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故=0.所以BEDC.(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一。</p><p>16、8.5空间向量及其应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间角1.理解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念.2.会用空间向量求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.2018浙江,8,19三种空间角直线与平面垂直的判定2017浙江,9,19二面角、直线与平面所成的角直线与平面平行的判定2016浙江文,18,14二面角、直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定2015浙江,13,17,8,文18,7三种空间角直线与平面垂直的判定、圆锥曲线2014浙江,17,20,文20二面角、直线与平面所成的角直线与平面垂。</p><p>17、高考达标检测（三十三） 空间向量2综合翻折、探索1如图1，在ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB 上，PEBC交AC于点E，PFAC交BC于点F.沿PE将APE翻折成APE，使得平面APE平面ABC；沿PF将BPF翻折成BPF，使得平面BPF平面ABC，如图2.(1)求证：BC平面APE；(2)若AP2PB，求二面角APCB的正切值解：(1)证明：因为FCPE，FC平面APE，PE平面APE，所以FC平面APE.因为平面APE平面ABC，且平面APE平面ABCPE，AEPE，所以AE平面ABC.同理BF平面ABC，所以BFAE，从而BF平面APE.又FCBFF，所以平面BCF平面APE.因为BC平面BCF，所以BC平面APE.(2)易知EC，EP，EA两两垂直，可。</p><p>18、第43讲 空间向量及其运算解密考纲空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等一、选择题1点M(8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(A)A(8，6，1)B(8，6，1)C(8，6,1)D(8，6,1)解析 结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确2O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点(B)A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断解析 ，且1，A，B，C，P四点共面3已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x(B)A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)解析 bx2a，x4a2b即x(8,1。</p><p>19、要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析,第3课时 平面向量的坐标表示,要点疑点考点,1.平面向量的坐标表示 (1)a(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标. (2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 则a+b(x1+x2，y1+y2)， a-b(x1-x2，y1-y2)， a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y10,返回,3.平移 设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标 则,1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐 标由公式 确定.当R且-1 时有( ) (A)P表示直线AB上的所有点 (B)P表示直线AB上除去A的所有点。</p>