[数学]空间向量完整讲义及课后作业及答案.doc

空间向量与立体几何一、空间向量及其加减运算知识梳理知识点一空间向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； 单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上.不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.不正确，因为A、B、C、D可能共线.正确.不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同. 【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好【跟踪训练】下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有+=答案B解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有+=，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.知识点二空间向量的加、减运算【例2】如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式（1） +；（2）+ ；（3）+；（4）+;解 （1） =.（2） （3）（4）【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0.【跟踪训练】已知长方体ABCDABCD,化简下列向量表达式:(1)(2)解 (1)= =A (2)知识点三向量加减法则的应用【例3】在如图所示的平行六面体中，求证：证明平行六面体的六个面均为平行四边形， .=又由于 ， = =，2.【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量=,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).【跟踪训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.（1）;；（2）;.解 如图，（1）= ;(2)=图中 ，为所求.课堂小结：1在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等2通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法3注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连对于向量减法要求两向量有共同的起点4ab表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段课后作业一、选择题1判断下列各命题的真假：向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为( )A2 B3 C4 D5答案 C解析 真命题；假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段2. 已知向量， 满足 | |，则( )A BC与同向 D与与同向答案D解析 由 | = | | + | | = | | + |,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与与同向3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是（ ） A. B. C. D.答案 A解析 如图所示， 因 ，.4空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.0 B. 0C. 0 D.0答案 B解析 如图所示， ()()= 0.5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量的是（ ） ()； ()；（)2；（).A B C D答案 A() . ().、正确二、填空题6. 如图所示 a，b是两个空间向量，则与与是_向量，与是_向量 答案相等相反7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式+ + 的结果为_答案0解析()()=0.三、解答题8如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简 （1），（2），并标出化简结果的向量 解 （1） = .(2)E，F，G分别为BC，CD，DB中点，. = = 9. 已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的中点.求证: = 证明 =又 =,2 = 由于M,N分别是AC和BD的中点,所以= 0. ()10设A是BCD所在平面外的一点，G是BCD的重心求证：) 证明连结BG，延长后交CD于E，由G为BCD的重心，知 E为CD的中点，. = =()= + = ()二、空间向量的数乘运算知识梳理知识点一 空间向量的运算【例1】已知ABCDABCD是平行六面体.(1)化简 (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCCB对角线BC上的分点,设,试求,的值. 解 (1)方法一 取AA的中点为E,则又取F为DC的一个三等分点(DF=DC),则DF = + + =+ + =方法二 取AB的三等分点P使得,取CC的中点Q,则 + +=(2) = = = ，.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法【跟踪训练】如图所示,平行六面体A1B1C1D1- ABCD，M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设 a，b，c，试用a、b、c表示， 解 = (ab)c(cb)abc知识点二 共线问题【例2】设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（ ）A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D. 与与的方向一定相同答案A解析 已知m+n=1，则 因为 0 .所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.【跟踪训练】已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，求+的值.解 A、B、P三点共线，由共线向量知， 存在实数t，使 = t由= ，= 代入得：；又由已知，1t，t，1.知识点三 共面问题【例3】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明 (1)由已知得EF綊HG， , 不共线， 共面且有公共点G，E，F，G，H四点共面. （2） 与不共线，共面由于BD不在平面EFGH内，所以BD平面EFGH.【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化【跟踪训练】用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面 证明 AMQ中,= CNP中, = 所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结：1向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说ab时，也具有同样的意义(2)“共线”这个概念具有自反性aa，也具有对称性，即若ab，则ba.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上或即可也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三点共线2向量共面的充要条件的理解xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有(1t)xyz，且xyz1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据课后作业一、选择题1下列命题中是真命题的是( )A分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C. 若向量 满足 | | |，且 与 同向，则 D. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则答案 D解析 A错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面B错因为|a|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法D对. + = 0 , = ，与共线，故，正确.2满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )ABCD|答案 C3在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )A2 BC0D0答案C解析 若有 x y，则M与点A、B、C共面，或者xyz且xyz1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足xyz1，C项满足xy，故选C.4已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数，使cab的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析验证必要性时，当a，b，c共面且ac(或bc)时不能成立，不能使，都非零5. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 是（ ）A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量答案C解析 如图所示，因为而, ，即,而 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面.二、填空题6已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有2，则_.答案2解析P与不共线三点A，B，C共面，且xyz(x，y，zR)，则xyz1是四点共面的充要条件7三个向量xayb，ybzc，zcxa的关系是_(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)答案共面解析因xayb，ybzc，zcxa也是三个向量，且有zcxa(ybzc)(xayb)所以三向量共面8. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若 a ,B = b , 则 等于 _答案 ab三、解答题9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点求证：(1)E，F，D，B四点共面； (2)平面AEF平面BDHG.证明 （1） ,共面且具有公共点E，E，F，D，B四点共面. (2)E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点， ，EFGH，AFBG，EF平面BDHG，AF平面BDHG，又AFEFF，平面AEF平面BDHG.10对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面证明 . 如图，利用多边形加法法则可得， , 又E，F分别是AB，CD的中点，故有 ， 将代入后，两式相加得2 ， ， 即 与，共面，EF与AD，BC平行于同一平面三、空间向量的数量积运算知识梳理知识点一 求两向量的数量积【例1】如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，求.解 由题意知 | | = | | = | | = a，且，= 120， ，= 120， =（ ）= ,= a2cos120a2cos1200【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如，60时， ，120.【跟踪训练】已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：（1） ；（2） ；（3） .解 如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0. （1） = b （c a ）+b= | b |2 = 42 = 16 .(2) = （c a +b ）（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3） = (ca)b(ba)(abc)(ba)|a|2|b|22.知识点二 利用数量积求角【例2】如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值解 . 因,所以 = =|cos ，| | | | cos , =84cos135 86cos120所以cos,=.即OA与BC所成角的余弦值为.【反思感悟】在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补【跟踪训练】在二面角l中，A，B，C，Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中点(1)求二面角l的大小；(2)求证：MNAB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小(1)解 PA，lPAl，又ADl，PAAD=A，l平面PAD，lPD，故ADP为二面角-l-的平面角，由PA=AD得ADP=45.二面角-l-的大小为45.（2）证明 ，()， ， = = ，ADAB，APAB 0，0， MNAB.(3)解 设APa，由(2)得 a2，|a，| |a， cos，即异面直线PA与MN所成角为45.知识点三 利用数量积证明垂直关系【例3】如图所示，m，n是平面内的两条相交直线如果lm，ln，求证：l . 证明 在内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为m与n相交，所以向量m，n不平行由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使gxmyn.将上式两边与向量l作数量积，得lgxlmyln.因为lm0，ln0，所以lg0, 所以lg.即lg.这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以l.【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零【跟踪训练】已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB.证明 OABC，OBAC，= 0，= 0. (+) ( + )= = ()= ()0， ，OCAB.课堂小结：空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：ab|a|b|cosa，b，这里a，b表示空间两向量所成的角(0a，b)空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用abab0证线线垂直(a，b为非零向量)(2)利用ab|a|b|cosa，b，cos，求两直线的夹角(3)利用|a|2aa，求解有关线段的长度问题 课后作业一、选择题1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的( )A充分不必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案 A解析 ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于( )A. B.C. D4答案 C解析 |a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913.3对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是( )A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc答案 B解析 A中若ab，则有ab0，不一定有a0，b0.C中当|a|b|时，a2b2，此时不一定有ab或ab.D中当a0时，abac，不一定有bc.4已知四边形ABCD满足：*60，0，0，*60，则该四边形为( )A平行四边形 B梯形C平面四边形 D空间四边形答案 D5已知a、b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且cb0是l的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B二、填空题6已知向量a、b满足条件：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_答案 45解析 因为a与2ba垂直，所以a(2ba)0.即2ab|a|20，所以2|a|b|cosa，b|a|20，所以4cosa，b40cosa，b，所以a与b的夹角为45.7. 已知线段AB,BD在平面内,ABD=120,线段AC,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为_答案 解析 |2|2222222a2b2c22abcos60a2b2c2ab.|.8已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，则_.答案 解析 由mn0，得(ab)(ab)0，列方程解得.三、解答题9. 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值. 解 设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m.abbcca0.又ab，ca. (ab)(ca)acbca2aba2m2.又| |m，|m，cos ， = .10已知在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的长(如图所示)； (2) 求 与的夹角的余弦值解 (1)= + + ,|2 = (+ + )2=| |2 + | |2+ | |2 + 2 ( + + )= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.| .(2) 方法一 设与的夹角为,四边形ABCD是矩形,| | = 。由余弦定理可得cos.方法二 设a，b，c，依题意 (abc)(ab)a22abb2acbc160945cos6035cos6016910. cos = .四、空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理知识点一 向量基底的判断【例1】已知向量a，b，c是空间的一个基底，那么向量ab，ab，c能构成空间的一个基底吗？为什么？解 ab，ab，c不共面，能构成空间一个基底假设ab，ab，c共面，则存在x，y，使cx(ab)y(ab)，c(xy)a(xy)b.从而由共面向量定理知，c与a，b共面这与a、b、c不共面矛盾ab，ab，c不共面【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底【跟踪训练】以下四个命题中正确的是( )A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案 B解析 使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.知识点二 用基底表示向量【例2】在平行六面体ABCDABCD中，*6a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q是CA上的点，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量： （1） ； (2)；(3) ； (4).解 连结AC、AD.（1） = = (abc)；(2)() = abc；(3) = ()( ) ()(22)abc；(4) ()abc.【反思感悟】 利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则【跟踪训练】已知三棱锥ABCD.(1)化简()并标出化简结果的向量；(2)设G为BCD的重心，试用，表示向量. 解 (1)设AB，AC，AD中点为E，F，H，BC中点为P.) = .（2） = = ()( )( )知识点三 求空间向量的坐标【例3】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求 的坐标 解 PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，ADAB，可设 i，i， j，k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ()= kik， .【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角【跟踪训练】在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB= ，|AO| = 4，|BO|= 2，|AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标.解 ; 又= 4，|4，|4，|2，(2，1，4)， (4,2，4)课堂小结：1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2对于(1t)xyz，当且仅当xyz1时，P、A、B、C四点共面3对于基底a，b，c除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0. 课后作业一、选择题1若存在实数x、y、z，使*6(1t)xyz成立，则下列判断正确的是( )A.对于某些x、y、z的值，向量组不能作为空间的一个基底B.对于任意的x、y、z的值，向量组都不能作为空间的一个基底C.对于任意x、y、z的值，向量组 都能作为空间的一个基底D.根据已知条件，无法作出相应的判断;答案 A解析 当 、不共面时，也不共面，能构成空间的一个基底，当，共面时，则，也共面，故不能构成空间的一个基底2. 设O-ABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若xyz，则(x，y，z)为( )A(，) B(，)C(，) D(，)答案 A解析 ，因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.故选A.3在以下3个命题中，真命题的个数是( )三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0 B1 C2 D3答案 C解析 命题，是真命题，命题是假命题4若a，b，c是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )Aa,2b,3c Bab，bc，caCa2b,2b3c,3a9c Dabc，b，c答案 C解析 3(a2b)3(2b3c)(3a9c)0.3a9c3(a2b)3(2b3c)即三向量3a9c，a2b,2b3c共面选C.5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是( )A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)答案 A解析 设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)二、填空题6. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，xyz，则xyz_.答案 ,解析 ( )7. 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则_.答案a(bc)8. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式中：；) 正确的个数是_个答案 3 ,解析 ，不正确；)= .正确；，明显正确三、解答题9已知e1，e2，e3是空间的一个基底，试问向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？并说明理由解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xaybzc0，即x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0.亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30.由于e1，e2，e3不共面，故得求得z5x，代入得y7x，取x1，则y7，z5，于是a7b5c0，即a7b5c，所以a，b，c三向量共面10在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设*6a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点 （1）用向量 a，b，c，表示；（2）若= x a +y b +z c，求实数x,y,z.解 （1） = + = + = abc，= + = + = - (2) = (acbc)abc，x，y，z1.五、总结知识点一空间向量概念的应用【例1】给出下列命题：将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；若空间向量a、b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=; 若空间向量m、n、p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D4解析假命题将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；假命题根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量a与b的方向不一定相同；与与的方向相同，模也相等，应有；真命题向量的相等满足递推规律；假命题空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错故选C.答案C知识点二空间向量的运算【例2】化简：（ ） ( )解 方法一 （ ）()=+=+=（+）+（+）=+=0。方法二 （）()=+=（）+（）=+=0。【例3】在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，试用b，c，d表示向量，、，和。解 如图所示=+=db,=+=cb,=+=dc,=(+)=(b d+cd)= (b+c2d),=+=d+,=d+( b+c2d)=(b+c+d).知识点三证明共线问题【例4】已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且=,=.求证：四边形EFGH是梯形. 证明 E、H分别是AB、AD的中点所以 =,=,=-= =()=（-）=-=（）=,四边形EFGH是梯形.知识点四证明共面问题【例5】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点.证明：向量，是共面向量.证明 方法一 如图所示.=+ += +-=（ ）。由向量共面的充要条件知，是共面向量。方法二连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)，则有FGDD1，BE DD1，FGBE.四边形BEFG为平行四边形EFBG.EF平面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD.，都与平面A1BD平行，共面.知识点五数量积的运算【例6】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算（1）;(2) ;(3) .解 (1）=|=|cos60=,所以=,（2）=|cos=11cos0=,所以 =,(3) =|cos=11cos120=-，所以 =-，知识点六数量积的应用【例7】已知点O是正ABC平面外的一点，若OAOBOCAB1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值如图所示，设=a, =b, =c, 则ab=bc=ca=，|a|=|b|=|c|=1，=(a+b),= c-b,=(a+b)c-b=a c + bc - ab -|b|2 = + - - 1 = -,cos,= 异面直线OE与BF所成角的余弦值为.【例8】如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离【例9】在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明 如图所示，设 = a ， = b，= c ，则ab = 0， bc = 0， ca = 0，且|a| = |b| = |c| ，而 =+=+(+)=e + (a + b),= - = b a , = + =(+) + = (a + b ) - c = c + a + b(b a )= c( b a ) + ( a + b) ( b a )= cb - c a + (|b|2 - | a |2 = c + a +b a + b - c=( |a|2 +|b|2) - |c|2=0A1O平面BDG知识点七空间向量的坐标运算【例10】已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐(1) = ( );(2) = ( );解 = （2，6，3），=（4，3，1）。（1）=( ) =(6 , 3 , 4 )=3, 2,则P点的坐标为3，2）.(2)设P（x,y,z）则， =（ x 2 , y + 1 , z 2 ）.又因为( - )= (3,-2),所以x=5, y= , z=0,故P点坐标为（5，0）.知识点八坐标运算的应用【例11】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦值；(3)求FH的长. 解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E（0，0，）、F（，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，0）.（1）=（，0）-（0，0，）=， ），=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）. = (-1)+ 0+(-)(-1)=0,EFB1C,即EFB1C.(2) =（0, ,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.|= 又=0+（-）+（-）(-1)=,|= ,cosE,= = 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.（3）F（，0）、H（0，）， =（-，），|=【例12】在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|2，|AB|3，|AA1|2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1DAC于D，求点O1到点D的距离解建立如图所示的空间直角坐标系（1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），B1（2，3，2），E（1，3，0）.=（-2，0，2）， =（1，0， 2），cos,=AO1与B1E所成角的余弦值为（2）由题意得，C（0，3，0），设D（x,y,0）, = (x,y, 2), = (x 2,y,0), = (2,3,0), 解得D(,0 ) |O1D| = |O1D| = 真题赏析1(福建高考)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O