数值积分和数值微分

数值积分和数值微分Tag内容描述：<p>1、1 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 4.1 数值积分概论 例如求一条河道的某个截面积。 如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有 (1) f(x)的解析式根本不存在，只给出了f(x)的一些数值; (2) f(x)的原函数F(x)求不出来，如F(x)不是初等函数; (3) f(x)的表达式结构复杂，求原函数较困难。 Chapter 4 Numerical Integration 4.1.1 数值求积的基本思想 2 定积分的几何意义： 是由曲线yf(x)，直线 x=a，x=b，与x轴所围成的曲 边梯形的面积。 由积分中值定理: I是以b-a为底,高为f()的矩形 的面积。 f()称为a,b。</p><p>2、第四部分 插值、拟合与数值微分和积分 天津科大海洋学院 2009-10 本章知识要点 插值方法(interp,spline) 拟合方法(polyfit,csaps) 数值微分(polyder, fnder) 数值积分(quad, quadl, fnint) 插值、拟合、数值微分、数值积分 在化工计算中的作用 表格式物性数据的内插 离散实验数据点的处理 状态方程计算流体的焓和熵 微分法反应动力学方程拟合 等温活塞流反应器的设计计算 微观离析反应器的计算 插值简介 插值的数学问题可以描述为：已知n+1个数对xi, f(xi)，其 中i0,1n，（xi互不相同，称之为节点），求取函数 g(xi)=f(xi)。 当xi, f(xi)。</p><p>3、第八章第八章 MATLABMATLAB数值积分数值积分 与微分与微分 Date1 n 数值积分 n 数值微分 *2 8.1 8.1 数值积分数值积分 8.1.1 8.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生的梯形法、辛普生(Simpson)(Simpson) 法、牛顿柯法、牛顿柯 特斯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法等都是经常采用的方 法。它们的基本思想都是将整个积分区间法。它们的基本思想都是将整个积分区间 a,ba,b 分成分成n n个子区间个子区间xi,xi+1xi,xi+1。</p><p>4、第5章 数值积分与数值微分方法1 基本概念梯形公式中矩形公式则上式为一个数值求积公式.称为求积系数，称为求积节点;而称为求积余项或求积公式的截断误差。从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式.定义1 若求积公式对于次数不超过的多项式准确成立，而对于次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度为.一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好.确定代数精度的方法依次取代入公式并验证是否成立.若第一个使不成立的值为，则对应的代数精。</p><p>5、羄莈蒄羄肇芁螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀肀肃芇蝿肀膅蒃蚅聿芈芅蚁肈肇蒁薇蚄膀莄蒃蚄节蕿螂蚃羂莂蚈蚂肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈荿螄螈膁膁蚀螈芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁螅膇芈蚇袄艿蒃薃袃罿芆葿袂肁蒂莅袂芄芅螃袁羃薀虿袀肆莃薅衿膈薈蒁袈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿薂羆膅膂蒈羅羄莈蒄羄肇芁螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀肀肃芇蝿肀膅蒃蚅聿芈芅蚁肈肇蒁薇蚄膀莄蒃蚄节蕿螂蚃羂莂蚈蚂肄薈薄螁膆莀蒀螀艿膃螈蝿羈荿螄螈膁膁蚀螈芃蒇薆螇羂芀蒂螆肅蒅螁螅膇芈蚇袄艿蒃薃袃罿芆葿袂肁蒂莅袂芄芅螃袁羃薀虿袀肆莃薅衿膈薈蒁袈芀莁螀羇羀膄蚆羆肂荿。</p><p>6、第5章数值逼近模型,5.2节数值积分和数值微分,5.2.1数值积分,图5.9复化梯形求积公式示意图,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,图5.10卫星轨道和地球表面示意图,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.1数值积分,5.2.2数值微分,5.2.2数值微分,5.2.2数值微分,5.2.2数值微分。</p><p>7、5.3节 数值积分和微分方程 数值解,一数值定积分求面积,【例5-3-1】 用数值积分法求由 ，y=0, x=0与x=10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精度的影响。 解: 原理 用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较，步长的变化用循环语句实现。MATLAB中的定积分有专门的函数QUAD,QUADL等实现。为了弄清原理，我们先用直接编程的方法来计算，然后再介绍定积分函数及其调用方法。设x向量的长度取为n，即将积分区间分为n-1段， 各段长度为 。算出各点的 ，则矩形法数值积分公式为：,矩形和梯形定积分公式,梯形法的公式为： 比较两个公式，它们之。</p><p>8、第二章 数值微分和数值积分,数值微分,函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 函数f(x)过于复杂,这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值,微积分中，关于导数的定义如下：,自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商,向前差商,由Taylor展开,因此，有误差,向后差商,由Taylor展开,因此，有误差,中心差商,由Taylor展开,因此，有误差,f(x)=exp(x),例：,由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长,我们可以用事后误差估计的方法来确定,设D(h),D(h/2) 分别为步长为h,h/2 的差商公式。。</p><p>9、第4章 数值积分与数值微分,问题的提出： 如何求积分,牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,N-L公式失效的情形：,数学分析中的处理方法：,4.1 数值积分概论,（1）被积函数，诸如 等等，找不到用 初等函数表示的原函数；,（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表. 这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用;,因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题.,N-L公式失效的情。</p><p>10、第6章 数值积分和数值微分,本章的问题： 计算定积分abf(x)dx的近似值。 必要性: 如果f(x)的原函数是F(x)，则,等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式,只是通过观测得到一些离散的数据点, 这样的定积分也只能用数值方法近似计算.,（牛顿-莱布尼兹公式）,但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用.如,第6 章 数值积分和数值微分 6.1。</p><p>11、1,第四章 数值积分与数值微分,第一节 Newton-Cotes求积公式,第二节 复化求积公式,第四节 Gauss求积公式,上一页 下一页 返回,2,要求,问题,上一页 下一页 返回,若能求出被积函数f (x)的一个原函数F(x)，则定积分 I能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即,面临的困难：,将求积分值转化为直接对定积分进行近似计算.,解决方法：,（即应用相应的数值积分公式进行计算）,3,一、数值求。</p>