第4章 数值积分和数值微分.ppt

1、第4章 数值积分与数值微分,问题的提出： 如何求积分,牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,N-L公式失效的情形：,数学分析中的处理方法：,4.1 数值积分概论,（1）被积函数，诸如 等等，找不到用 初等函数表示的原函数；,（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表. 这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用;,因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题.,N-L公式失效的情形：,（3）有原函数，但原函数很复杂，难以求解，如书P97的例子.,只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得,一种数值求积方法.,由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点， 成立,构造数值积分公式的

2、基本思想,（1）左矩形公式,（3）用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式,（2）右矩形公式,是梯形公式.,左矩形公式：,右矩形公式：,中矩形公式：,梯形公式：,一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ，,然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样,权 仅仅与节点 的选取有关，,构造出的求积公式具有下列形式：,将这种思想一般化：,用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了求原函数.这类数值积分方法通常称为机械求积。,4.2 牛顿-科特斯公式,据代数插值法，对于被积函数,可以构造一个插值多项式,来近似代替它。,对上式两边求积分得到

3、,而,是一个代数多项式，它的定积分是容易计算的。,即有,可以根据这种想法来构造出几个近似求积公式。,4.2.1 科特斯系数,由代数插值法知道，可以以a和b作为插值节点构造一个插值多项式,来近似代替,即有,.,对上式两边求积分得,即梯形公式。,把积分区间a，b二等分，得到三个分点a，,和b。,据代数插值法，可以以这三个分点作为插值节点，构造一个插值多项式,来近似代替,，即有,对上式两边求积分得,称为辛普森公式。,把积分区间a，b n等分，得到n+1个分点，其分点记为,，其中,。,由代数插值法知道，可以以这n+1个分点作为插值节点，构造一个插值多项式,来近似代替,，即有,对上式两边求积分得,其中,

4、作变换,，从而得到,于是,若记,则有,从而得到,称为Newton-Cotes系数。,表4-1 n从到的Newton-Cotes系数,特别的，n为4的时候称为科特斯公式。,设将积分区间 划分为 等分，,选取等距节点 构造出的插值型求积公式,（2.1）,称为牛顿-柯特斯公式，,式中 称为柯特斯系数.,步长,（2.2）,当 时，,这时的求积公式就是梯形公式,当 时，按(2.2)式，,相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式,（2.3）,柯特斯系数为,的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，,（2.4）,这里,其形式是,插值型数值积分的含义,。,例 用梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-

5、Cotes求积公式(取n=4 )计算定积分,解, 用Simpson求积公式, 用Newton-Cotes求积公式, 用梯形求积公式,4.2.2 求积公式的代数精确度,定义4.1 对一般求积近似公式，如果当,为任意一个次,精确成立，而当,为n+1次代数多项式时不精确成立，则称该,数不高于n次的代数多项式时积分近似公式,积分近似公式具有n次代数精确度。,一个事实：任何一个求积近似公式都可以写成这样的形式,其中,是不依赖于函数,另一个事实：对某些被积函数来说，积分近似公式精确成立。,例如，,据线性插值的误差估计式有,对上式从a到b求积分得,即,显然，当,为不超过一次代数多项式时，,。所以,即当,为不

6、超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。,定理4.1 梯形求积公式具有一次代数精确度。,证, 证当f(x)为任意一个不超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。, 证当,为二次代数多项式时，梯形求积公式不精确成立。,=x2时有,所以当,=x2 时,由此推出，当,为二次代数多项式时,因此，据定义梯形求积公式具有一次代数精确度。,因为当,定理4.2 Newton-Cotes求积公式至少具有n次代数精确度，当n为偶数时，代数精确度至少为n+1次。,即,根据n次插值的误差估计式有,对上式两边从a到b求积分得到,当,为任意不超过n次代数多项式时，,。所以，,这说明，Newton-Cotes求积公式

7、至少具有n次代数精确度。, 证Newton-Cotes求积公式至少具有n次代数精确度。,证, 证当n为偶数时，Newton-Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。,为n+1次代数多项式，则可令,，其中n为偶数,故,再据(4.14)有,可以证明:当n为偶数时，有,从而得知,当,为n+1次多项式，且n为偶数时有,这说明，当n为偶数时，Newton-Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。,设,，从而有,定理4.3 Simpson求积公式的代数精确度为。,，则由(4.1)式有,而,从而,由此推知，当,为4次代数多项式时,这说明，当,精确成立。因此，得知Simpson求积公式的代数精确度

8、为。,取,证,由定理4.2，Simpson求积公式的代数精确度至少为次。,为四次代数多项式时，Simpson求积公式不能,4.2.3 求积公式的误差估计,定理4.4 若,，则梯形求积公式有误差估计,其中ab,因为x依赖于，所以,是x的函数，而且据题意,在a，b上连续，而（x-a）(x-b)在a，b上小于，从而由积分中值定理得到,于是，得到梯形求积公式的误差估计为,据插值余项公式有,证,解：使用梯形公式,使用辛普森公式：,使用柯特斯公式：,在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的

9、基本思想。常用的复合求积公式有复合梯形公式和复合辛普森公式。,4.3 复合求积公式,问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？,问题2：当n8时NC求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？,将积分区间a,b划分为n等分,步长 ，求积节点为 ，在每个小区间 上应用梯形公式,求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值。,4.3.1 复合梯形公式及其误差,记,称其为复合梯形公式。,当f(x)在a,b上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为,在a,b上的余项,根据连续函数的介值定理知，存

10、在 ，使,因此,余项,复合梯形公式积分法, 输入,和,对,做, 输出,使用复合梯形公式求积分算法,将积分区间a,b划分为n等分,记子区间 的中点为 在每个小区间上应用辛普森公式，则有,记,称为复合辛普森公式。,4.3.2复合辛普森公式及其误差,类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛普森公式的求积余项为,求积余项为,复化Simpson公式积分法,复合求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复合梯形公式、复合辛普森公式与复合柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为 、 、 。因此当h0 (即n)时, 都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。,使用复合Si

11、mpson公式求积分算法,和, 计算,对,做,对,做, 输出, 输入,例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算,解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，,由复化梯形公式可得如下计算公式：,由复合辛普森公式可得如下计算公式,（积分准确值I=0.9460831）,这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有三位有效数字(T8=0.9456909),而复合辛普森法却有六位有效数字。,例2 计算定积分,解:取 ,则 ,又区间长度b-a =1， （1）对复合梯形公式有余项,即 ,

12、n212.85，取n=213，即取214个求积节点时，用复化梯形公式计算误差不超过 。,(1)若用复合梯形求积公式，要取多少个求积节点？ (2)若用复合辛普森求积公式，要取多少个求积节点？ (3)若用复合柯特斯求积公式，要取多少个求积节点？,，使误差不超过,（2）对复合辛普森公式有余项,即 ，取n=4，即取2n+1=9个求积节点时，用复合辛普森公式计算误差不超过 。,（3）对复合柯特斯公式有余项,即 ，取n=1，即取4n+1=5个求积节点时，用复合柯特斯公式计算误差不超过 。,复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长(有时难以估计)。若步长太大，

13、则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。,4.4 龙贝格（Romberg）求积公式,变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。,4.4.1 梯形法的递推化（变步长的梯形公式）,在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。,问题：能否不通过事先估计出步长的方法，计算出达到精度要求的近似值？,设将积分区间a,bn等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh, k=0,1,，n，步长 。,则在区间a,b上复化梯形求积

14、公式为：,问题：复化梯形求积公式简单易算，但精度不高，收敛速度慢，能否由其构造一个精度高些、收敛速度快些的复化求积公式呢？,问题：若精度达不到要求怎么办？,二分小区间增加节点，将xk , xk+1分为xk , xk+1/2和xk+1/2 , xk+1，这时复化梯形求积公式为：,当 在区间a,b上变化不大时,有 ，所以,问题：截断误差如何变化的？,结论：精度提高了。,解: 先对整个区间0,1用梯形公式,对于,所以有,然后将区间二等分,由于 ,故有,进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值,例 用变步长梯形求积法计算定积分,有,这样不断二分下去，计算结果如P110列表所示。积分的准确值为0.94

15、60831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。,可得,重新整理式子,显然可以用此式判断近似值是否达到了精度要求。所以通常将此式作为事后误差估计式。,问题：能否利用两次求得的近似值来估计误差呢？,问题：既然 可以作为用T2n计算I的近似值的估计误差，那我们能否用这个估计误差来改进我们的近算结果呢？,4.4.2 龙贝格求积公式,积分近似值 的误差大致等于 ,如果用 对 进行修正时， 与 之和比 更接近积分真值,所以可以将 看成是对 误差的一种补偿,这样应该可得到一个具有更好效果的式子。 问题：是这样的吗？,和梯形变步长公式,代入上式得,故,用梯形法二分前后两个积分值 和 作线性组合，结果却

16、得到复化辛普森公式 。,将复化梯形公式,对辛普森公式用类似方法处理，其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至 ，即有,由此可得,可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛普森公式二等分前后的两个积分值Sn和S2n 作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有,用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式,在变步长的过程中运用前面三个式子，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为龙贝格算法。,4.4.3 Romberg序列的推

17、导,(4.2),都是与步长,可以证明复化梯形求积公式的另一个误差估计式:,其中,无关的常数.,如果用h/2代替h，则有：,(4.3),为了把二次项略掉，4乘以（4.3）式减去（4.2）式再除以3后， 得：,(4.4),如果用h/2代替h，则有：,为了把四次项略掉，16乘以（4.5）式减去（4.4）式再除以15后， 得：,(4.5),上述处理方法称为理查森(Richardson)外推加速方法.,计算过程,6 数值微分,一、中点方法与误差分析,2.6.1 使用n次插值函数求导数,和插值点，可以构造一个n次,来近似代替,，即有,对上式两边求导得,由定理2.3得知，,与,的误差估计式为,其中,对上式两

18、边求导得到,与,的误差估计式为,(2.55),只考虑求节点,处的导数，并注意到,，则有,(2.54),对于给定函数,插值函数,两点公式,如表2.3所示的数据表，可以构造一个,线性插值函数,对上式两边求导数，并注意到,，则得到,从而有下面求导公式,并有如下误差估计式,对于给定函数,来近似代替,三点公式,如表2.5所示的数据表，可以构造一个二次,近似代替,对上式两边求导得到,从而得到下面求导公式,对于给定函数,插值函数,并有如下误差估计式,数值积分方法小结,本章介绍了积分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数P(x)近似表示f(x)，然后对P(x)求积得到f(x)的积分近似值。 本章基于插值原理，构造了数值积分的基本公式。 插值型求积公式分为牛顿柯特斯公式和高斯