斯托克斯公式

斯托克斯公式Tag内容描述：<p>1、第六节 高斯公式与斯托克斯公式 一 问题的提出 二 Gauss 公式 三 简单应用 四 斯托克斯公式 五 小结 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边 界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边 界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面 积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关 系. 一 问题的提出 格林公式表达了平面区域上二重积 分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系。而在空间上，也有同样类似的 结论，这就。</p><p>2、第三节 高斯公式与斯托克斯公式 一 问题的提出 二 Gauss 公式 三 简单应用 四 通量与散度 五 小结 一 问题的提出 格林公式表达了平面区域上二重积 分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系。而在空间上，也有同样类似的 结论，这就是高斯公式，它表达了空 间区域上三重积分与区域边界曲面上 曲面积分之间的关系。 二 高斯公式 证明 取下侧 取上侧 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理 -高斯公式 和并以上三式得： Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系。</p><p>3、第六节 Green 公式Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 设 为XY型区域 , 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消, 。</p><p>4、8-6 高斯公式与斯托克斯公式 格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域 上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。 定理1 (高斯公式 ) 则有 1.高斯公式 记做 ，则高斯公式可写成 上式在物理上称为向量 通过曲面的通量 即： 通过闭曲面的通量，等于其散度在所 包围的区域 上的三重积分 记 的散度， 定义 为向量函数（场） 证 对于一般的区域 则可引进辅助面将其分割成 若干个 与上类似的小区域, 则在每个小区域上式成立. 故上式仍成立 . 然后相加,因为在辅助面正反。</p><p>5、3 高斯公式与斯托克斯公式 首页 定理22.3 设空间闭区域 V 由分片光滑的 在V 上有连续的一阶偏导数, 则有 闭曲面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 一、高斯公式 首页 下面先证:证明 设 为XY型区域 , 则 首页 首页 所以 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 首页 例1 计算 其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所 围的正立方体表面并取外侧为正向. 解 首页 例计算 所围的空间区域的表面，方向取。</p><p>6、第八节 斯托克斯(stokes)公式,一、斯托克斯(stokes)公式,- 斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,证明,如图,只须证,根椐格林公式,平面有向曲线,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,另有四种形式,例如:,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,二、简单的应用,解,由Stocks公式,解,由Stocks公式, 有,取：xyz 1，上侧,即有,Green公式,Gauss公式,Stokes公式与N-L公式 一样,是建立函数在积分域内部的积分与边 界上的积分之间的关系. 4个公式的作用(1)理论上;(2)双向的。</p><p>7、三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,因此,同理可证,三式相加, 即得斯托克。</p><p>8、第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度,一、斯托克斯公式 二、简单应用 三、物理意义环流量与旋度 四、小结 思考题,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,另一种形式,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,二、简单的应用,解,按斯托克斯公式, 有,三、物理意义-环流量与旋度,1. 环流量的定义:,利用stokes公式, 有,2. 旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,四、小结,斯托克斯公式的物理意义,斯托克斯公式成立的条件,斯托。</p><p>9、第十二节,第二类面积分 高斯公式 斯托克斯公式,设G是单连通域,则以下四个命题等价:,一、平面曲线积分与路径无关的条件,例1,例2,例3 练习十五/四,二. 第二型曲面积分,流体的流量为:,注,三、第二类曲面积分的计算法,四、高斯公式,五、斯托克斯公式,六、场论,梯度:,散度:,旋度:,则,场论中的三个重要概念,例4 练习十六/一(1),例5 练习十六/一(3),也可以由对称性得到,例6,解,例7（04-1-12）,例8,例9,是否可以使用高斯公式？,解：,例10,解,例11（11-1-4）,备例1,备例2,备例3 练习十五/三,备例4 练习十五/七,备例5 练习十六/五,备例6 练习十六/六。</p><p>10、2019/6/1,1,1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式,被卷入液态金属中杂质，密度与液态金属 不同，HOW? 上浮至表面 下沉到底部。 一般杂质密度均小于液态金属，在大多数情况下要上浮至液态金属的表面 。 液态金属中杂质的上浮或下沉速度，由?力来决定 杂质所受液体的斥力 杂质的运动阻力。,目录,2019/6/1,2,1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式,斥力的大小和杂质与液态金属之间的密度差有关 杂质的运动阻力取决于? 液态金属的粘度 杂质表面性质 杂质的运动速度。,目录,2019/6/1,3,1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式,杂质进入液态金属后，无论是上浮还是下沉，。</p><p>11、第七节、斯托克斯公式与旋度,一、斯托克斯(stokes)公式,二、空间曲线积分与路径无关的条件,三、 环流量与旋度,四、向量微分算子,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲。</p><p>12、第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,高斯公式,第十一章,斯托克斯公式,二、斯托克斯公式,Stokes 公式,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯, 的方向取外侧,以下形式：,其中，,是在点(x,y,z)处的法,向量的方向余弦.,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?。</p>