高斯公式和斯托克斯公式.ppt

3 高斯公式与斯托克斯公式 首页 定理22.3 设空间闭区域 V 由分片光滑的 在V 上有连续的一阶偏导数, 则有 闭曲面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 一、高斯公式 首页 下面先证:证明 设 为XY型区域 , 则 首页 首页 所以 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 首页 例1 计算 其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所 围的正立方体表面并取外侧为正向. 解 首页 例计算 所围的空间区域的表面，方向取外侧. 解 其中 S 为锥面与平面 首页 设 S1 为上半球体的底面， 例计算 的外侧. 解 其中 S 是上半球面 取下侧. 于是 首页 斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S 的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系. 对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定： 设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走， 指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向.这个规定方法也称为右手法则. 首页 定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线, 同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有 S 的侧与 L 的正向符合右手法则, 在 S （连 首页 注意: 则斯托克斯公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域, 首页 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 首页 证情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则 (利用格林公式) 首页 首页 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 首页 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 首页 例2 利用斯托克斯公式计算积分 其中 L 为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线， 解 取逆时针方向为正向如图所示. 记三角形ABC为 S , 取上侧, 则 首页 首页 例 利用斯托克斯公式计算积分 其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向. 解 记以 L 为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则 确定，于是有 首页 首页 例 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 首页 空间曲线积分与路径无关的条件 定理22.5 设 是空间单连通区域, 函数 P, Q, R 在上具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对 内任一按段光滑闭曲线 L, 有 (2) 对 内任一按段光滑曲线 L, 与路径无关 首页 (4) 在 内处处有 (3) 在 内存在某一函数 u, 使 首页 与路径无关, 并求函数 解 令 积分与路径无关, 因此 例3 验证曲线积分 首页 内容小结 1. 高斯公式 首页 2. 斯托克斯公式 首页 例计算其中 S 为球面在第一卦限部分 例 设 S 与上例相同，取球面外侧， 分别计算下列积分 首页 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他