泰勒级数

泰勒级数Tag内容描述：<p>1、一一 幂级数幂级数 n n n xxa 0 0 n n n xa 0 l a a n n n 1 lim n n nx a 0 定理定理1 如果幂级数如果幂级数 的系数满足条件的系数满足条件 则则 1 当当0 l 0和和R2 0 则则 f x g x 的收敛半径的收敛半径 R min R1 R2 0n n nx a 2 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径R 0 则在收敛区则在收敛区 间间 R R。</p><p>2、一 幂级数 ,定理1 如果幂级数,的系数满足条件,| |,则 (1)当0 l +时,(2)当l =0时, R=+ ;,(3)当l = +时, R=0.,二 幂级数的收敛半径,三、幂级数的性质,1 加减法,设f(x)= 和g(x)= 的收敛半径,分别各为R10和R20 , 则,= f(x) g(x).,的收敛半径 R minR1, R2.,2 设幂级数 的收敛半径R0, 则在收敛区间(R, R)内, 其和函数S(x)是连续函数.,若级数 在端点收敛, 则S(x)在端点单侧连续.,3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可导, 并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收敛半径不变.,即 f(x) =,x (R, R),4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可。</p><p>3、第三章 幂级数展开,陈尚达 材料与光电物理学院,第三章 幂级数展开,1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类,3.3 泰勒级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.,3.3.1。</p><p>4、1,REVIEW,幂级数的概念 幂级数收敛的阿贝尔定理幂级数收敛范围是一个圆盘D。在此圆盘内幂级数收敛且绝对收敛、内闭一致收敛。和函数为D上的解析函数。和函数的求导、积分等于对幂级数逐项求导、积分再求和取极限。 求幂级数的收敛半径两种办法,第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,一、问题的引入,已知: 幂级数在其收敛圆盘内。</p><p>5、第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数,1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理。</p><p>6、3.3 泰勒(Taylor)级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。 实变函数可展开为泰勒级数的条件是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数，因此解析函数可展开为复变项的泰勒级数。,一、定理(泰勒定理)： 设f(z。</p><p>7、4 3泰勒级数 一 泰勒 Taylor 定理 则当时 有 其中 证明 略 一 泰勒 Taylor 定理 而不是在整个解析区域D上展开 的收敛性质的限制 幂级数的收敛域必须 是圆域 幂级数一旦收敛 其和函数一定解析 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法一 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法二 一 泰勒 T。</p><p>8、泰勒 级数,泰勒(Taylor)级数,洛朗 级数,洛朗(Laurent)级数,张红英,张红英,1. 问题的引入,4.3 泰勒(Taylor)级数,2. 泰勒级数展开定理,3. 简单初等函数的泰勒展开式,4. 小结,一个幂级数的和函数在它的 收敛圆内部是一个解析函数。,1. 问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,幂级数性质回顾：,定理（泰勒级数展开定理）,2. 泰勒(Taylor)级数展开定理,代入(1),分析：,联合(I),(II),(*)式,证明：,注：,(2) 展开式的唯一性,分析：设f (z)用另外的方法展开为幂级数:,直接法,间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数 运算。</p><p>9、3.3 泰勒(Taylor)级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。 实变函数可展开为泰勒级数的条件是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数，因此解析函数可展开为复变项的泰勒级数。,一、定理(泰勒定理)： 设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析，则对于圆内任意 z点，f(z)可展开为幂级数 其中 CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆,证明：由柯西公式。</p><p>10、7.6 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：O、近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可。</p><p>11、第三章 泰勒幂级数展开,陈尚达 材料与光电物理学院,第三章 幂级数展开,1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类,3.3 泰勒级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.,3.3。</p><p>12、第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,3,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,4,5,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,6,令,则在K上连续,7,即存在一个正常数M,8,从而在K内,泰勒级数,9,由上讨论得重。</p><p>13、课前练习,课前练习,课前练习,原级数绝对收敛。,原级数发散。,收敛半径为：,课前练习,解:,收敛.,发散.,(*),对于(*),一、函数项级数的概念,微,积,分,电,子,教,案,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的性质,11.4 泰勒级数与幂级数,四、泰勒级数,五、函数展开成幂级数,三、幂级数的性质,在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。,上式两边积分得：,于是,幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但是收敛区间可能改变。,三、幂级数的性质,解：,三、幂级数的性质,例4,发散;,发散;,故幂级数的收敛区间为,解：,三、幂级数。</p><p>14、微,积,分,电,子,教,案,11.4 泰勒级数与幂级数,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的性质,四、泰勒级数,五、函数展开成幂级数,1.定义,一、函数项级数的概念,设 是定义在 上的函数,则 称为定义在区间 上的(函数项)无穷级数.,对于每一个 ，函数项级数 就是一个常数项级数,2.收敛点与收敛域,一、函数项级数的概念,如果 ，常数项级数 收敛, 则称 为级数 的收敛点，否则称为发散点. 函数项级数 的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域.,当 时，收敛；,收敛域：,当 时，发散；,发散域：,余项,3.和函数,若。</p><p>15、第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数,1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理。</p><p>16、泰勒级数的物理意义 高等数学干吗要研究级数问题 是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深 No 是为了把各种简单的问题 复杂的问题 他们的求解过程用一种通用的方法来表示 提一个问题 99 99等于多少 相信我们不会傻。</p>