同济大学微积分第三版

同济大学微积分第三版Tag内容描述：<p>1、设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 时，对应点为 时，对应点为 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 割线 的方向向量为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 曲线在M处的切线方程 切平面方程及法线方程。 例1 求曲线 在点 的 解 求导 方向向量的各分量 故切线方程为 法平面方程为 点法式方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 练习： P106 1. 3. 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 。</p><p>2、一、多元函数的概念、区域,例1 圆柱体的体积,例2 理想气体压强的计算公式,1. 多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,定义1,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,(P67-68),例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,（1）邻域,2. 区域,（2）区域,例如，,即为开集,连通,不连通,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二、多元函数的极限,直观描述,或,例如, 设,设点 是函数 的某个定义域的内点 或边界点，如果在 的过程中， 对应的函。</p><p>3、第六节 微积分基本定理,本节要点,本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的,其中 为 的一个原函数.,存在性, 更进一步地得到微积分基本公式牛顿莱,伯尼茨公式,一、问题的提出,在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 内经,但是, 这段路程又可视为位置函数 在区间 上,的增量 即,过的路程为速度函数在区间 上的定积分,又 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上,值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函,的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 上的,述关系表示为速度函数 在区间 上的定积分等,于 的原函数 在区间 上的增量.,。</p><p>4、第六节 微分中值定理,本节要点,本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定,一、费马引理,二、罗尔定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,理:,一、费马引理,首先, 让我们来观察这样一个几何事实. 如图所示:,我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处,的横坐标为 则有,连续曲线弧 是函数 的图形, 如果,曲线有水平切线. 若记点,进一步观察,当 时, 又看到在曲线弧,上, 至少有一点 弧 在该点处的切线 平行于弦,由此启发我们考虑这样一个,又切线 的斜率是 以 记 的横坐,标, 则有,理论上的问题: 设,是否存在,使等式,成立？下面我们从理论。</p><p>5、一、偏导数的定义及其计算法,或,或,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,由偏导数的定义可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在应 用一元函数求导法就可以了：,证,原结论成立,解,练习：1.（1）（3）（5）,解,不存在,证,结果不是1，说明偏导 不能看成微商，但导数 能看成微商。,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,偏导数的几何意义,如图,几何意义:,练习：5.,例 5,解,按定义可知：,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,。</p><p>6、第四节 高阶导数,本节要点,本节引入高阶导数的概念及计算方法, 并给出高阶导,数的莱布尼兹公式.,高阶导数,记为 或,若 在 处都可导, 则由极限,则很自然地会考虑函数 的可导性. 若 在 处可导,若函数 在区间 中点点可导, 即,则称 在 处的导数为 在 处的二阶导数,由定义, 知,同样可以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数.,确定了一个以 为定义域的函数, 称其为 的二阶导,函数, 简称为二阶导数. 记为,按照定义, 我们有,为了记号上的方便, 我们约定,例1 求函数,解,的三阶导数.,例2 求函数,解,例3 求 的 阶导数.,解,的二阶导数.,例4 求 的 阶导数。</p>