微分方程的基本概念

微分方程的基本概念Tag内容描述：<p>1、第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：1、 首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足（1）同时还满足以下条件：时， （2）把（1）式两端积分，得即 （3）其中C是任。</p><p>2、微分方程 第十二章 积分问题 微分方程问题 推广 Date阜师院数科院 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章 Date阜师院数科院 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: (C为任意常数) 由 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date阜师院数科院 引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车。</p><p>3、解,一、微分方程的定义,1问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,(1)微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,2微分方程的定义与分类,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,分类1常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方。</p><p>4、一、引言,对自然界的深刻研究,傅里叶,微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到,所研究的变量之间的函数关系,却,比较容易建立起,这些变量与它们的导数或微分之间,的联系,从而得到一个,方程,即微分方程.,通过求解这种方程,同样可以找到,指定未知量之间的函数关系.,因此,微分方程是数学联,系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科,关于未知函数的导数或微分的,是数学最富饶的源泉.,一、引言,下面的例子说明，,实际问题中较容易建立起来的,是各个学科,进行科学研究的强有力的工具.,例： 已知曲线上点 P(x, y) 处。</p><p>5、常微分方程,第八章,第八章,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动，演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。因此微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第八章,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = f(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x ,求该曲线的方程 .,一、引例,例2 一质量为m的物体在重力作用下作自由落体运动，假设开。</p><p>6、微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,引例2.,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(。</p><p>7、10.1 微分方程的基本概念,Basic concept of differential equations,三、微分方程的解,一、问题的提出,二、微分方程的定义,微,积,分,电,子,教,案,引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。,解：,设所求曲线方程为：y = f(x),两边对x求积分：,即 y=x2+C,将x=1,y=2代入，得：2=1+C,即 C=1,故所求曲线为：y=x2+1,一、问题的提出,由题意得：,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。,2.1、微分方程,二、微分方程的定义,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。,如：,2.1、微分方程,二、。</p><p>8、一、问题的引入,二、微分方程的定义与分类,三、微分方程的解与初值问题,第一节 微分方程的基本概念,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、问题的引入,引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线方程。,（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）,下面求未知函数：,将初始条件 代入上式，得：,由此得 ，,故所求曲线方程为 .,（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）,引例2 列车在一段笔直的铁路上以20米秒的速度行驶，当制动时列车获得加速度0.4米秒2，问开始制动后经多少时间列车才。</p><p>9、9.1 微分方程的基本概念,一、微分方程的定义,二、微分方程的解,含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶.,定义9.1,一、微分方程的定义,例如，,实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,例1,著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时,发现,则,即有方程,从而解得落体运动的规律:,这是微分方程应用的最早的一个例子.,例2,在没有人员,迁入或迁出的情况下,于是有微分方程,方程表述的定律称为群体增长的马尔,萨。</p><p>10、第十二章 微分方程,differential equation,第十二章,1. 微分方程的基本概念;,2. 一阶微分方程;（可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程）,4. 线性微分方程及其通解的结构;,5. 常系数齐次线性方程;,6. 常系数非齐次线性方程.,3. 几种可积的高阶微分方程;,利用函数关系可以对客观事物作定量分析.,但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观,含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为,对它进行研究确定出未知,实际上就解决了最,不能直接找出所需要的函数关系,只能列出,把这样的,牛顿和莱布尼茨,求。</p><p>11、2,第一节 微分方程的基本概念,引例1 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.,解 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式,(C为任意常数),由得 C = 1 ,因此所求曲线方程为,由得,3,引例2 列车在平直线路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解 设列车在制动后t秒行驶了s 米,即求s = s (t) .,已知,由前一式两次积分,可得,( 为任意常数 ),利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能,停住,以及制动后行驶了多少路程.,4,1.含未知函数及其导数或。</p><p>12、1,第九章,微分方程与差分方程,2,第一节 微分方程的基本概念,在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.,在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.,本章还要学习一阶常系数线性差分方程的解法.,3,定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函。</p><p>13、经济数学,清华大学出版社,张杰明 主 编,JINGJI SHUXUE,刘增锐 梁赛良 杨秀萍 副主编,经济数学 第一节 微分方程的基本概念 页码：1,经济数学 第一节 微分方程的基本概念 页码：2,经济数学 第一节 微分方程的基本概念 页码：3,经济数学 第一节 微分方程的基本概念 页码：4,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：5,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：6,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：7,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：8,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：9,经济数学 第二节 一阶微分方程 页码：10,经济数学 第二节 一阶微分方。</p><p>14、微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节(*) 二阶常系数线性微分方程,第一节 微分方程的概念,一.实例,例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.,设曲线方程为 y = y(x),则,二. 概念,1. 微分方程:,含有未知函数的导数或微分的方程.,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例),未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.,本章内容,2. 阶:,未知函数的最高阶导数的阶数.,例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.,n阶方程一般形式:,必须出现。</p><p>15、第四章 微分方程, 积分问题, 微分方程问题,推广,第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,解,一、引例,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程 .,设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式:,将 x = 1 , y = 2 代入上式，解得 :,C = 1 ,故所求曲线方程为,解,例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当 制动时列车获得加速度0.4米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,设列车在制动后 t 秒行驶了s=s(t) 米 ,则有如下关系。</p><p>16、5.1 非线性方程研究的例子与概念,5.1.1 例子,5.1.3 基本定义,5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、,动力系统,例5.1.1 早期研究生态问题的一个简单的,微分方程模型时Malthus模型,(5.1.1),其中 代表t时刻种群的数量， 为一个常数,(称为内禀增长率)，模型的简单解释就是说 时刻,种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个,线性模型，加上初始条件,可以容易地求得其解为,由解的形式可以得出当 时,这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的,数量都受生态环境的影响不会无限制的增长，,这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象,变化。</p>