微分几何教案

微分几何教案Tag内容描述：<p>1、微分几何教案（二十四） 6.5高斯波涅(GaussBonnet)公式6.5 高斯波涅(Gauss-Bonnet)公式在平面几何中三角形的内角和为 ,如何把这个结论推广到曲面上,这是我们这节解决的问题.高斯波涅定理: 在曲面S上给出一个由k条光滑曲线段组成的曲线多边形,它围成一个单连通区域G,多边形是G的边缘,记为。设曲面S的高斯曲率和的测地曲率分别为K和,曲面面积元素和弧长元素分别为和,则其中是的第i个内角的角度，是第i个外角的角度。该公式叫做高斯波涅公式证明 在曲面上引进半测地坐标网,有,则由习题13知,于是得 （）据格林公式：（这里）有：,但由5习题6知。</p><p>2、微分几何教案（二十一） 曲面上的测地线：6.1曲面上曲线的测地曲率6 曲面上的测地线本节讨论的是曲面的内在几何学，即研究仅由曲面的第一基本形式决定的几何性质。但为方便和直观起见，有些内在几何性质的引入，仍将借助于曲面的法向量，即借助于曲面的第二基本形式。6.1 曲面上的测地线给出一个曲面S：，（C）是S上的一条曲线：，是（C）的自然参数。设P是（C）上一点，分别是单位切向量、主法向量和副法向量.再设是曲面S在P点的单位法向量，是与的夹角。则曲面S在P点的切向量上的法曲率是，其中k为曲线(C)在P点的曲率.命，则是彼此正交。</p><p>3、微分几何教案（二十二） 6.2 曲面上的测地线6.2 曲面上的测地线一 测地线的定义定义 曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率都为零，则称为测地线。说明 平面上曲率为零的曲线是直线，因此测地线可看作平面上直线的概念在曲面上的推广。以后我们还会看到，曲面上的测地线确实具有类似平面上直线的性质。 .由定义及可知：曲面上的曲线是直线该曲线是测地线,同时是渐近线.（这是因为测地线，渐近线）。 二 曲线为测地线的条件命题3 曲面上非直线的曲线为测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。。</p><p>4、微分几何教案（九） 1.1简单曲面及其参数表示第二章 曲面论对于欧氏空间中曲面论的研究是经典微分几何的重要内容。本章在给出曲面的第一、第二基本形式的基础上，推导出曲面的高斯曲率，以及讨论曲面在一点邻近的形态与结构，直纹曲面的可展性，给出曲面论的基本定理，讨论曲面的几个内在性质1 曲面的概念1.1 简单曲面及参数表示一 简单曲面1 约当(Jordan)曲线:平面上不自交的闭曲线。2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域叫初等区域。例如 正方形或矩形，圆或椭圆的内部等都是初等区域。3 简单曲面：平面上初等区域。</p><p>5、微分几何教案（二十五） 6.6曲面上向量的平行移动6.6 曲面上向量的平行移动在本节，我们把空间或平面上矢量的平行移动的概念推广到一般曲面。一 曲面上的向量及其平行移动1 曲面上的向量、向量场曲面上给定点处切于此曲面的向量叫做曲面在该点的一个向量。设已知一个曲面S和一个与S在P点相切而不等于零的矢量，如果把在空间里（按通常意义）平移，使它的始点从M点移到S上的另一点，则在点一般和S不相切。设(C)是曲面上一条曲线，其方程: (i=1,2) ,在(C)的每一点M(t),给出一向量,在M(t)点切于曲面.即是沿 (C)与S相切的变矢，或称是沿(C)的。</p><p>6、微分几何教案（十八、十九） 直纹面和可展曲面4 直纹面和可展曲面一 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。二 直纹面的参数表示O(C)在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C），其参数表时为 ，这样的曲线称为直纹面的导线。设是过导线（C）上点的直母线上的单位向量，导线（C）上点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径可以表示为 : 。这就是直纹面的参数方程。直纹。</p><p>7、微分几何教案（二十三） 6.3曲面上的半测地坐标网 6.4 曲面上测地线的短程性6.3 曲面上的半测地坐标网一 半测地坐标网定义 曲面上的一个坐标网，如果其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。（这族正交轨线称为测地平行线）。例 平面上的极坐标系，一族坐标曲线是从原点出发的射线，这是平面上的测地线；另一族坐标曲线是以原点为心的同心圆，它是上述测地线的正交轨线。因此半测地坐标网是平面上极坐标系在曲面上的推广。球面上的坐标曲线也构成半测地坐标网。二 半测地坐标网的存在性命题4 给。</p><p>8、微分几何教案（二十） 曲面论基本定理：5.1曲面的基本方程和克里斯托费尔符号5. 曲面的基本定理通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面，我们就可以得到它的两个基本形式：。 曲面的各种曲率完全由它的两个基本形式决定。因为曲率是用来描述曲面形状的，所以如果我们知道了曲面的第一、第二基本形式后，也就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问题：曲面在空间的形状是否由第一、第二基本形式完全确定？说得详细一点，如果给出了u,v的两个二次微分形式，我们能否确定一个曲面，使它的第一、第二基本形式恰为上述所给出的两个微分形式。</p><p>9、微分几何教案（十三） 曲面的第二基本形式：2.13 曲面的第二基本形式3.1 曲面的第二基本形式2讨论的是曲面的第一基本形式。第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。为了研究空间曲面的弯曲性，本节介绍曲面的第二基本形式。SPQ(C)设类曲面的方程是，即有二阶连续偏导矢。现在固定曲面上一点P(u,v),设曲面在P点的切平面是。下面先介绍1. 曲面S上的点到其邻近点P的。</p><p>10、微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为，沿v-线的主曲率为,曲面上任意方向(d)=du:dv与曲线的夹角为,则沿（d）的法曲率满足 . 这个公式叫做欧拉公式。证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv,与其对应。</p><p>11、微分几何教案（十一） 曲面的第一基本形式： 2.1-2.32 曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长给出曲面S:上的曲线(C):u=u(t),v=v(t)或。对于曲线(C)有或，若以S表示曲面上曲线的弧长，则有。令，则 ，这个二次形式决定曲面上曲线(C)的弧长，曲线(C)上两点之间的弧长是 是关于du,dv的二次形式，称为S的第一基本形式，用表示，即=，它的系数叫做曲面的第一类基本量。说明 因为 ， 因此第一基本形式是正定的。例1 求曲面z = z(x,y)的第一基本形式。解 z=z(x,y)表示的曲面即，其中，所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一。</p><p>12、微分几何教案（十） 1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线 1.3曲面上的曲线族和曲线网1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线一 光滑曲面,正常点,正规坐标网1 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到k阶的连续偏导数,则称为k阶正则曲面或称为类曲面.2 光滑曲面:类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是光滑曲面. 3 正常点: 对曲面S上一点,过的u-曲线:,其切向量为 ,过的v-曲线:,其切向量为 ，如果,则称为正常点,或正则点。以后我们只讨论曲面的正常点。曲面上的点如果都是正常点，则曲面叫做正则曲面. 在球面的参数方程中, 是球面的不正常点。因球面上点。</p><p>13、微分几何教案（十五） 曲面的第二基本形式：3.43.53.4 曲面的渐近方向与共轭方向一 曲面的渐近方向定义（渐近方向）：曲面在P点使=0的方向（d）=du:dv叫做曲面在P点的一个渐近方向。说明（1）设曲面在P点的第二基本量为L0、M0、N0，由解析几何中二次曲线的一般理论知，（d）= du:dv是渐近方向的充要条件是L0du2+2M0dudv+N0dv2=0 ;(2) 当LN-M20时，Ldu2+2Mdudv+Ndv2 = 0无解，所以在椭圆点处，曲面没有渐近方向。二 曲面的渐近曲线定义（渐近曲线）：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线。渐近曲线的微分方。</p><p>14、微分几何教案（十七） 曲面的第基二基本形式：3.73.83.7 曲面在一点邻近的结构在3.3小节里曾用第二基本形式的行列式对曲面上的点进行了分类.在上小节我们又看到 ,因为 ,所以 K与同号,因此得到以下用高斯曲率对曲面上点的分类:椭圆点; 双曲点; 抛物点.以下用法曲率分别讨论曲面在一点邻近的形状.一 椭圆点: 这时主曲率同号,不妨设都大于零,根据欧拉公式曲面沿任意方向的法曲率，曲面沿任意方向的法曲率与同号。这说明曲面在这样的点沿所有方向都朝同一方向弯曲。由于主曲率是沿主方向的两条法截线的曲率，而法截线是平面曲线，据4.4节可知。</p><p>15、微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.33.2 曲面上曲线的曲率上面介绍了曲面的第二基本形式，它是曲面到其切平面有向距离的2倍，它刻画了曲面的弯曲性。曲面在一点沿不同方向弯曲程度不同，或说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲性可由曲面在一点沿这个方向的一种曲率（即法曲率）来刻画。为介绍法曲率，我们先看曲面上的曲线在一点的曲率。一 曲面上任一曲线的曲率P设类曲面S：，P(u,v)为其上一点，S上过P点的一曲线（C）方程为u=u(s),v=v(s) ，或，S为曲线(C)的自然参数，(C)在P点的曲率为k，则有，其中为曲线(C)在P点的主。</p><p>16、微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯科达齐迈因纳尔迪 公式5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式一 黎曼(Riemann)曲率张量第一类黎曼曲率张量定义为：容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式：注 I,j,k取值为1，2。后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。第二类黎曼曲率张量定义为：， m,I,j,k=1,2 。 ( 可得)二 Gauss-Codazzi-Mainardi 公式命题（1）高斯公式：（2）科达齐-迈因纳尔迪公式：。证明 对基本方程中的高斯方程求导数得：。。</p><p>17、1 具体如下 具体如下 取取上的向量场上的向量场 对给定的 对给定的有有MX Mx 于是 于是为关于为关于的的MTxX x MTx x X 齐次线性函数 有齐次线性函数 有 MxxXxxX 对对和和 有有 MCgf MXYX YgXfgYfX 下面设下面设 即 即 1 形式 形式 MT p 1 为为上的向量场 上的向量场 P XX 1 M det 1 1 1 1 1 1 1 11 ji ipi i。</p><p>18、微分几何电子教案,教材：梅向明微分几何作者刘元兴,微分几何（引言）,1、曲线和曲面的微分几包括两大部分。其中一部分是随着微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典（局部）微分几何，它是研究曲线和曲面的局部性质的，即研究哪些仅取决于曲线或曲面在一点邻近的行为的哪些性质。另一部分是整体微分几何。它研究局部性质对整个曲线或曲面的行为的影响。2、研究的方法矢量分析、张量分析、活动标架法。,第一章曲线论1、向。</p>