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微分几何教案（十一） 曲面的第一基本形式： 2.1-2.32 曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长给出曲面S:上的曲线(C):u=u(t),v=v(t)或。对于曲线(C)有或，若以S表示曲面上曲线的弧长，则有。令，则 ，这个二次形式决定曲面上曲线(C)的弧长，曲线(C)上两点之间的弧长是 是关于du,dv的二次形式，称为S的第一基本形式，用表示，即=，它的系数叫做曲面的第一类基本量。说明 因为 ， 因此第一基本形式是正定的。例1 求曲面z = z(x,y)的第一基本形式。 解 z=z(x,y)表示的曲面即，其中，所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一基本形式。解 例3 求正螺面的第一基本形式。 解 。2.2曲面上两方向的夹角曲面上一点的切方向称为曲面上的方向，它能表示为，其中是过点的坐标曲线的切向量。任给一组du;dv，由上式就确定曲面的一个方向，以后常用du;dv或(d)或表示曲面上的一个方向。两方向的夹角：给出两个方向与我们把向量与间的夹角称为方向与 间的角。与总代表过的两条曲线的方向，所以这两方向的夹角也叫做两曲线的夹角。设与的夹角为，则， ， 故 推论1 两方向与垂直的充分必要条件是推论2 设坐标曲线的切向量与的夹角为则cos= 。 推论3 坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.例4 证明旋转曲面的坐标网是正交的。 证明 因为F = 0,所以坐标网是正交的。同理可证：圆柱面、球面、正螺面的坐标网也是正交的。2.3 正交曲线族和正交轨线1 定义 给出曲面上的两族相交曲线，如果两族曲线在曲面上每一点处两曲线的方向总是垂直的，则称这两族曲线为曲面上的正交曲线族。并称一族为另一族的正交轨线。 2 两族曲线为正交的充要条件 正交轨线的方程（1）设曲面上的两族曲线为，。如果它们正交，则由曲面上两方向垂直条件知， 所以即，这就是两曲线为正交曲线的条件。(2) 如果为已知曲线族（即A:B为已知），设其正交的轨线方程为，则即与联立消去参数du,dv得： 这就是的正交轨线的微分方程。 例 求抛物面z=axy的直母线的正交轨线。解 把抛物面方程z=axy改写为。则x-线、y-线都是直母线。先求与x-线正交的轨线，因为x-线方程为dy=0,所以A=0，B=1. 由抛物面方程可得： ，所以与x-线正交的轨线的微分方程为： ，积分得或（C为常数） 这就是
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