无穷小和无穷大

无穷小和无穷大Tag内容描述：<p>1、2.2.3 无穷小与无穷大 在自变量的某一趋势过程中函数的极限为零，则 称此函数在此变化过程中为一无穷小量。 A. 无穷小（量） 定理5（基本极限定理） 基本极限定理的意义 定义 B. 无穷大（量） 注意： （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大 无界. 解： 分析： 定义 C. 无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒 不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 ： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 其他性质 解： 不能保证. 例 有 思考。</p><p>2、第三节 无穷小量与无穷大量,2.3.1 无穷小量,1.定义1 设 f (x)在某U(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,。</p><p>3、2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较,都是,定义2.7.1,的无穷小。,2.7.1无穷小与无穷大,（无穷小）,小量，简称无穷小。,则称,如果,为,的无穷,例如，,注意：不要把无穷小量与很小的量混为一谈。,定理2.7.1（极限与无穷小量的关系）,证明略。,例如，因为,是无穷小；,因为,无穷小运算法则,时, 有,（1） 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,（定理2.7.2）,（2） 有界量与无穷小的乘积是无穷小,证: 设,又设,即,当,时。</p><p>4、三、 无穷大,四 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,1.6 无穷小与无穷大,二、 无穷小的运算性质,一、 无穷小,定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小.,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,注意:,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的常数.,3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似。</p><p>5、第四节无穷小与无穷大,本节概要,无穷小是微积分中非常重要的概念，这是因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上讲，微积分也可称作无穷小分析。无穷大概念由于其和无穷小。</p><p>6、第三节无穷小量与无穷大量,2.3.1无穷小量,1.定义1设f(x)在某U(x0)内有定义.若则称f(x)为当xx0时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时,有,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和。</p>