线性代数期末复习

线性代数期末复习Tag内容描述：<p>1、回顾:倒数,1定义:设a是一个数,若存在数b,使得,2判别:数a有倒数的充要条件是,复习:矩阵的概念,a0.,a,数本身即为11型矩阵,【定义2.6】设A为一个方阵,若存在同阶方阵B,使得,一逆矩阵的概念,3逆矩阵,注：(1)可逆矩阵必须是方阵；,(2)若方阵A有逆矩阵，则逆是唯一的.,原因:由AmnBst=BstAmn=E,AB=BA=E,则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为B=A-1。</p><p>2、第五章特征值和特征向量,复习向量的内积,定义1:,设有n维向量,称为向量与的内积.,即：,(i),(ii),(iii),性质：,定义,设为n维向量,为实数.,当时，,称为单位向量.,定义2:,当时，,称为n维向量与的夹角.,若，,则与任何向量都正交.,称为n维向量的长度或范数.,若,则称与正交.,（正交向量组）,定理1:,若n维向量是一组两两正交的非零向量,则,线性无关.,证：,设有一组数使。</p><p>3、二次型的概念及其矩阵矩阵的合同,第六章二次型,一二次型的概念,1.定义：,的二次齐次函数,称为n元二次型，简称二次型.,二次型中只含平方项,即形如：,(3)规范形:,(1)含有n个变量,若系数aij是实数(复数),称为实(复)二次型.本书只讨论实二次型.,(2)标准形:,标准形中平方项系数只能是1,-1,0,即形如:,(4)正(负)惯性指数:,标准形或规范形中,正(负)平方项的个数.,2.二次型的。</p><p>4、复习总结,1. 行列式的三种展开定义：,按行指标展开，,按列指标展开，,完全展开，,复习总结,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，,则此行列式为零.,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,复习总结,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积。</p><p>5、线性代数总复习,一、行列式,二、矩阵,三、向量之间的关系,四、线性方程组的解,五、特征值与特征向量,一、行列式,1、二阶三阶行列式的计算,2、n阶行列式的计算,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1) 利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列。</p><p>6、复习总结,1. 行列式的三种展开定义：,按行指标展开，,按列指标展开，,完全展开，,复习总结,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，,则此行列式为零.,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,复习总结,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积。</p><p>7、吕洪波手机 13296412216扣扣 1625850451 学习 数学 Truth MathsisDifficult 全靠数学给我的打击 才有了现在如此坚强的自己 复习 行列式的定义 1二阶 2三阶 对角线法则 每项均为不同行不同列的2个元素的乘积 共含2 项。</p><p>8、4矩阵分块法 一 矩阵分块的概念 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵 每个小矩阵称为A的一个子块 以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例如矩阵 其中 注 任一矩阵A有多种分块方法 常用的分块方法有 1。</p><p>9、复习 行列式的性质及推论 性质1 行列式与它的转置行列式相等 推论 如果行列式的两行 列 完全相等 此行列式为零 性质2 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论 若行列式中某一行 列 的元素全为零 则此行列式等于零 性质。</p><p>10、2化二次型为标准形 用正交变换法化二次型为标准形 一化二次型为标准形的原因 问题 如何把二次型f xTAx化为标准形 4 将二次型化为标准形 即 对于二次型寻求一个可逆的线性替换 二化二次型为标准形 变量替换 4 式变为。</p><p>11、第五章特征值和特征向量 复习向量的内积 定义1 设有n维向量 称为向量与的内积 即 i ii iii 性质 定义 设为n维向量 为实数 当时 称为单位向量 定义2 当时 称为n维向量与的夹角 若 则与任何向量都正交 称为n维向量的长。</p><p>12、2化二次型为标准形 用正交变换法化二次型为标准形 一化二次型为标准形的原因 问题 如何把二次型f xTAx化为标准形 4 将二次型化为标准形 即 对于二次型寻求一个可逆的线性替换 二化二次型为标准形 变量替换 4 式变为x Cy 代入f xTAx 可得 思路 由此可知 若能找到C使得CTAC D为对角阵 则标准形可得 这样就把二次型化标准形问题转化为对称阵合同对角阵问题 两种方法 1 正交变换法。</p><p>13、2-5 初等变换和初等矩阵,1 定义：下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：,(1) 互换i与j两行(列) (记为 ),(3) 把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素 上去 (第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为 ).,(2)以数 乘第i行(列)的所有元素 (记为 ),注 （1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换;,（2）矩阵的初等变换是可逆的。</p><p>14、4 矩阵分块法,一、矩阵分块的概念,将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,例如矩阵:,其中：,注:,任一矩阵A有多种分块方法,常用的分块方法有:,1) 将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:,2) 将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为:,二、分块矩阵的运算,1.分块矩阵的加法与数乘:,设矩阵A与B是同型矩阵,且分。</p><p>15、吕洪波 手机: 13296412216 扣扣：1625850451,学 习,数 学,Truth: Maths is Difficult.,全靠数学给我的打击， 才有了现在如此坚强的自己！,复习: 行列式的定义,1 二阶:,2 三阶:,对角线法则,每项均为不同行不同列的2个元素的乘积，共含2!项， 行排列自然，列排列一奇一偶。,每项均为不同行不同列的3个元素的乘积，共含3!项， 行排列自然，列排列。</p><p>16、复习,行列式的性质及推论,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。,性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论 ：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等于零。,性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列式之和。,性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。</p>