线性方程组的解的结构

线性方程组的解的结构Tag内容描述：<p>1、1,第四节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构,2,若AX=0有非零解, 这些解具有哪些性质? 解集合的整体结构如何?,问题,性质1. 如1,2是AX=0的解,则1+2也是它的解 由1,2是AX=0的解, 即A1=0,A2=0 A( 1+2)= A1+ A2=0+0=0 1+2也是AX=0的解 性质2.如是AX=0的解, 则对任意的数C, c也是它的解 由是AX=0的解, 即A=0 c R, A(c)=cA()=0 c R, c也是AX=0的解,一、齐次线性方程组的结构,3,定义2.4.1,如果1,2,s是n元齐次线性方程组AX=0解向量组的一个最大线性无关组，则称1,2,s为方程组AX=0的一个基础解系,综合以。</p><p>2、第4章 向量组与线性方程组的解的结构,4.1向量组及其线性组合,4.2向量组的线性相关性,4.3向量组的秩,4.4 线性方程组的解的结构,即 矩阵,4.1向量组及其线性组合,4.1.1,维向量的概念,1 维向量的定义,个有次序的数,维向量，这,个数称为该向量的分量，第,个数,称为第,个分量（或第,个坐标）,行向量,列向量,即 矩阵,2零向量,3负向量,4向量的相等,5向量组,同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组,4.1.2,维向量的线性运算,1加法与数乘,为任意实 数，则,2加法与数乘的运算规律（略）,注:利用向量的运算,对于方程组,则,4.1.3 向。</p><p>3、第四节 线性方程组的解的结构,一、齐次线性方程组解的性质,二、基础解系及其求法,三、非齐次线性方程组解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成矩阵方程,若,称为方程组(1) 的,解向量，它也就是矩阵方程(2)的解,若记,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,基础解系就是齐次线性方程组的解集的最大无关组.,定理7,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 。</p><p>4、线性方程组的解结构,齐次线性方程组的解结构 非齐次线性方程组的解结构, ,齐次线性方程组的解结构,例1.判别方程组,有无非零解,若有,写出其通解.,解 在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下:, A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A),运行结果为,ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0,由阶梯形矩阵可知R(A)=23,所以齐次线性方程组有非零解,即有无穷多个解.,该齐次线性方程组通解的参数形式为,其中k为任意实数.,例2.用基础解系表示齐次线性方程组,的通解.,解 所用MATLAB命令及运行结果为, A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 。</p><p>5、线性代数 第五版 高等学校 工程数学 系列课程 新余学院 数学教研室 线性代数 LinearAlgebra 同济大学版 内容提要 4 1向量组的线性组合 4 2向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 4 4线性方程组解的结构 4 5向量空间 第四。</p><p>6、2.5 线性方程组解的一般理论,第二章 线性方程组,一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构,1. 线性方程组的向量表示,一、线性方程组有解的判断定理,方程组的增广矩阵经过若干次的初等行变换,可以化为如下的行阶梯形矩阵(必要时可重新排列未知量的顺序):,最后矩阵对应的线性方程组为：,（2） ，有解,有唯一解,有无穷多解， 恰有 个非自由未知量.,。</p><p>7、一、向量空间的基与维数,定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足, 4.4 齐次线性方程组解的结构,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,二、齐次线性方。</p><p>8、解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程。</p><p>9、4 线性方程组的解的结构,回顾：线性方程组的解的判定,包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解； 当R(A) = R(A, b) < n时，方程。</p><p>10、几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,问题式预习及思考题,1. 什么是齐次方程组的基础解系，其与向量组的极大无关组、向量空间的基之间的关系如何？,2. 齐次方程组的解空间的基和维数是什么？,3. 非齐次方程组的通解结构是什么？,思考题,请以三维空间为例说明其基、正交基、标准正交基的几何含义. 请给出R3的一组标准正交基，其中有一个向量1= (1,。</p><p>11、解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程。</p>