线性方程组的解的结构

1、2.5 线性方程组解的一般理论,第二章 线性方程组,一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构,1. 线性方程组的向量表示,一、线性方程组有解的判断定理,方程组的增广矩阵经过若干次的初等行变换,可以化为如下的行阶梯形矩阵(必要时可重新排列未知量的顺序):,最后矩阵对应的线性方程组为：,（2） ，有解,有唯一解,有无穷多解， 恰有 个非自由未知量.,（1） ， 无解,r =增广矩阵中元素不全为0的行数,r 增广矩阵中元素不全为0的行数,r =未知量的个数,r 未知量的个数,r:系数部分中元素不全为0的 行数(有效方程的个数),证明:必要性。线性方程组（

2、1）有解，则此方程组的向量形式可知：,定理2.17 线性方程组（1）有解的充要条件是它的系数矩阵A的秩等于增广矩阵的 秩，即 R（A）=R（ ）。,显然以下四种提法是等价的： 方程组（1）有解；,2. 能由 线性表示；,4. 矩阵A与矩阵 的秩相等，即R（A）= R（ ）。,齐次线性方程组（）有非零解,特别地, 齐次线性方程组（）一定有解.,齐次线性方程组（）仅有零解,与前面对齐次线性方程组解的判定方法作比较,定理1 如果方程个数m 小于未知量个数n，一定有非零解.,【说明】当mn时,一定有 ,则齐次线性方程组一定有非零解.,定理2 n个未知量，n个方程的齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件

3、是系数行列式 D0.,【说明】 D0,一定有 ,线性无关，对应的齐次线性方程组仅有零解.,1. 齐次线性方程组解的性质,（1）若 线性方程组（2）的解，则 也是方程组（2）的解,证明,都是线性方程组（2）的解,（2）若 为齐次线性方程组（2）的解， 为实数， 则 也是齐次线性方程组（2）的解,证明,为齐次线性方程组（2）的解,定义2.16 基础解系的定义,3、基础解系及其求法,【注1】齐次线性方程组的基础解系 满足: 是方程组的解; 线性无关; 解向量组的任一向量都可由 线性表示.,即基础解系是齐次方程组所有解向量构成的向量组的一个极大线性无关组,【注3】仅有零解的齐次线性方程组没有基础解系.

4、,【注2】齐次线性方程组的基础解系不唯一.,定理2.18 如果齐次线性方程组（2）的系数矩阵的秩R（A）rn，则齐次线性方程组（2）有基础解系，并且它的任一基础解系中的向量的个数为n-r,对应的齐次线性方程组为,它与原齐次线性方程组同解,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,线性无关.,所以 个 维向量 亦线性无关.,设,用列向量表示为,齐次线性方程组的任意一个解都可由 线性表示,其中 为任意常数.,1.证明的过程给出了求齐次线性方程组的一个基础解系的方法;,【说明】,2基础解系不唯一, 如果 ，则任意n-r个 线性无关的解都是一

5、个基础解系;,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,线性无关的向量组,线性无关的向量组,解二,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，,求出方程组的解的过程中，但未知元 总是非自由 的未知元,也可选为自由的未知元,只须对矩阵 A 化为行最简矩阵的过程中稍做变化，,对系数矩阵 A 作初等行变换，先将其中某一列 （不一定是第一列）化为,线性无关的向量组,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,解,令,得到基础解系,一般解,(c1, c2, c3为任意常数.),称

6、为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。,三、非齐次线性方程组解的结构,【注】,非齐次线性方程组(I)有无穷多解,其导出组有非零解(即有无穷多解).,导出组有解 (I)有解.,当非齐次线性方程组(I)有解时(前提条件),非齐次线性方程组解的性质,证明,都是线性方程组（1）的解，,证明,是线性方程组（1）的解，,是线性方程组（2）的解，,非齐次线性方程组的通解,定理2.19 如果 非齐次线性方程组(1)的一个解，,证明：根据性质1可得 一定为非齐次线性方程组（1）的解,根据性质2可得 一定为对应的齐次线性方程组（2）的解，因此可由其导出组（2）的基础解系,例1 求解方程组,解

7、,解,例2 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系和特解,求基础解系,令,依次得,代入,故得基础解系,求特解,所以方程组的通解为,则原方程组等价于方程组,解法2,所以方程组的通解为,解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系和特解,令自由未知量,令自由未知量,带入导出组的 同解方程中,导出组的基础解系,令自由未知量,带入原方程组 同解方程中,得到方程组的特解,解,，方程组有唯一解；,方程组无解；,，方程组有无穷多解,时，,令,得导出组的基础解系,令,得方程组特解,例5,问取何值时，有唯一解; 无解; 有无限多解？无限多解时求其通解。,解,有唯一解;,无解;,有无限多解，,B,B,求基础解系,令,(任意非零数) 代入,得,故得基础解系,求特解,所以方程组的通解为,【注】由于例4，例5恰好方程的个数和未知量的个数相同, 则也可利用cramer法则:系数行列式不为零 有唯一解,即先求出取何值时有唯一解.然后再讨论无解和无穷多解的情况.(该方法只适用于方程个数=未知量个数的线性方程组,过程略),如何确定？,3、非齐次方程组的求解步骤,2.在有解时，进一步将B