线性方程组解的结构ppt课件

线性代数 第五版 高等学校 工程数学 系列课程 新余学院 数学教研室 线性代数 LinearAlgebra 同济大学版 内容提要 4 1向量组的线性组合 4 2向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 4 4线性方程组解的结构 4 5向量空间 第四章向量组的线性相关性 4 4线性方程组解的结构 4 4 0引言 问题 什么是线性方程组的解的结构 答 所谓线性方程组的解的结构 就是当线性方 程组有无限多个解时 解与解之间的相互关系 备注 当方程组存在唯一解时 无须讨论解的结构 下面的讨论都是假设线性方程组有解 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 定义1 设有齐次线性方程组Ax 0 如果x1 x11 x2 x21 xn xn1为该方程组的解 则称为方程组的解向量 解向量的概念 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 性质1 若x x1 x x2是齐次线性方程组Ax 0的解 则x x1 x2还是Ax 0的解 证明 A x1 x2 Ax1 Ax2 0 0 0 性质2 若x x是齐次线性方程组Ax 0的解 k为实数 则x kx还是Ax 0的解 证明 A kx k Ax k0 0 结论 若x x1 x x2 x xt是齐次线性方程组Ax 0的解 则x k1x1 k2x2 ktxt还是Ax 0的解 齐次线性方程组解的性质 已知齐次方程组Ax 0的几个解向量 可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解 能否通过有限个解向量的线性组合把Ax 0的解全部表示出来 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 定义2 齐次线性方程组Ax 0的一组解向量 x1 x2 xr如果满足 x1 x2 xr线性无关 方程组中任意一个解都可以表示x1 x2 xr的线性组合 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系 把Ax 0的全体解组成的集合记作S 齐次线性方程组的基础解系就是S的一个最大无关组 基础解系所含向量个数就是S的秩 记为RS 如果x1 x2 xt是齐次线性方程组的基础解系 则方程组的全部解可表示成 x k1x1 k2x2 ktxt 通解 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 n r列 前r行 后n r行 故R x1 x2 xn r n r 即x1 x2 xn r线性无关 满足基础解系 于是x1 x2 xn r就是齐次线性方程组Ax 0的基础解系 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 此即为Ax 0的基础解系 通解为x c1x1 c2x2 cn rxn r 则 令 方法2 直接求基础解系 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 例1 求齐次线性方程组的基础解系 解法1 先求出通解 再从通解求得基础解系 即 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 令x3 c1 x4 c2 得通解表达式 因为方程组的任意一个解都可以表示为x1 x2的线性组合 x1 x2的四个分量不成比例 所以x1 x2线性无关 所以x1 x2是原方程组的基础解系 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 解法2 先求出基础解系 再写出通解 即 令 合起来便得到基础解系 得 还能找出其它基础解系吗 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 问题 是否可以把x1选作自由变量 答 可以 因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵 其实并不影响方程组的求解 当两个矩阵行等价时 以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解 4 4 1齐次线性方程组的基础解系 令x1 c1 x2 c2 得通解表达式 即 从而可得另一个基础解系 h1和h2 4 4 2非齐次线性方程组的解的结构 性质1 若x h1 x h2是非齐次线性方程组Ax b的解 则x h1 h2是对应的齐次线性方程组Ax 0 导出组 的解 证明 A h1 h2 Ah1 Ah2 b b 0 性质2 若x h是非齐次线性方程组Ax b的解 x x是导出组Ax 0的解 则x x h还是Ax b的解 证明 A x h Ax Ah 0 b b 非齐次线性方程组解的性质 根据性质1和性质2可知若x h 是Ax b的解 x x是Ax 0的解 那么x x h 也是Ax b的解 设Ax 0的通解为x c1x1 c2x2 cn rxn r 于是Ax b的通解为h c1x1 c2x2 cn rxn r h 例2 求线性方程组的通解 解 容易看出是方程组的一个特解 其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论 导出组的基础解系为 4 4 2非齐次线性方程组的解的结构 于是 原方程组的通解为 4 4 2非齐次线性方程组的解的结构 求解线性方程组 第三章 利用矩阵的初等行变换 线性方程组的几何意义 第四章 四种等价形