正定二次型判定

正定二次型判定Tag内容描述：<p>1、1 1 4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质 2 2 一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的. 3 3 例 4 4 二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 。</p><p>2、正定二次型和正定矩阵的概念 判别二次型或矩阵正定的方法 7正定二次型 下页 关闭 正定二次型是二次型中讨论最多的类型 本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几。</p><p>3、只含平方项的二次型 称为二次型的标准形标准形(或法式)。 定义定义6.106.10（二次型标准形） 平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形 称为二次型的规范形规范形。（见书第五节二次型的规范形） 以上说明： 注意： 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的. 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为: (思考为什么一定可化为上面形式？) 再做一次可逆的线性变换 则 f 化为 思考：在可互化的二次型 中最简单的是什么？在对 称矩阵合同等价类中最简 单的矩阵是什么？ 任意一个实二次型f(x1,x2,xn) = xTAx 定理定理6.126.12(惯性定。</p><p>4、一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,5.3 正定二次型,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式都。</p><p>5、,正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法,7正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,.,二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11(惯性定理)设有。</p><p>6、,1,1,1,正定二次型和正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质,.,2,2,2,一、基本概念,定义设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A称为正定矩阵.定义如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A称为半正(负)定矩阵.定义如果实二次型f=XTAX对于。</p><p>7、1 1 正定二次型和正定矩阵一 基本概念二 正定矩阵的充分必要条件三 正定矩阵的性质 1 2 2 一 基本概念 定义设A为实n阶对称矩阵 如果对于任意非零向量X 二次型f XTAX均为正数 则称二次型f为正定的 其矩阵A称为正定矩。</p><p>8、1 第三节 2 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义义，可得以下结论结论 ： 充分性是显显然的；下面用反证证法证证必要性： 代入二次型，得 3 由上述两个结论结论 可知，研究二次型的正定性，只要 通过过非退化线线性变换变换 ，将其化为标为标 准形，就容易由以 下定理判别别其正定性。 4 定理 推论 实对实对 称矩阵阵A正定的充分必要条件是A的特征值 值 全为为正。 正定矩阵。 这是因为： 5 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 ,)14)(2( 2 +-=lll 6 全为为正， 因此二次型正定。 7 定理设矩阵A正定，则则 （1）A的。</p><p>9、正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法,7正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,1,二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11(惯性定理)设有实二。</p><p>10、,1,正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法,7正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,.,2,二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11(惯性定。</p><p>11、二次型 2007 029 8 设是实矩阵 E为n级单位矩阵 已知矩阵 证明 当时 矩阵B为正定矩阵 2007 029 9 已知二次曲面方程为 1 求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形 2 上述二次曲面的方程表示何种曲面 2007 008 8 已知矩。</p>