期末试题解答.doc

清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2(A)2005年6月20日姓名学号班级一、选择题（每小题分，共分）1设正项级数1nna收敛，则)1()1(1nannnB.A绝对收敛；.B条件收敛；.C发散；.D不能确定2设幂级数0)2(nnnxa在点30x收敛，则级数0nnaA.A绝对收敛；.B条件收敛；.C发散；.D不能确定3设nx是一个数列，pn,是任意自然数下列哪一个条件可以推出nx是柯西列？C.A2|npnxxnpn；.B2ln|npxxnpn；.Cpnxxnpn1|；.D22|pnnpxxnpn4若瑕积分10dln)1(xxxx收敛，则和的取值范围是D.A0,1；.B0,0；.C1,2；.D2,15设)(xf在),0存在二阶导数，且1)0(f，0)0(f，0)(cxf（其中c是一个正数）则)(xf在),0(的零点个数为B.A2；.B1；.C0；.D3二、填空题（每小题分，共分）6若幂级数0nnnxa的收敛域为)2,2，则幂级数02)1(nnnxa的收敛域为)21,21(7设)(2)(xxxf，10)sincos(2nnnnxbnxaa是)(xf的傅立叶级数则2006a08设)(xf是周期等于2的函数，在区间1,1(的表达式为22)(xxfx其傅里叶级数为00)sincos(2nnnxnbxnaa的和函数为)(xS，则)1(S等于499已知11)d(e2xpx，收敛，则正数p的取值范围是21p10设)(xf为可导函数，1)(af，1)(bf若函数列)()1()(xfnxfnxn在区间,ba一致收敛，则bannxxd)(lim2三、解答题（共60分）11(12分)用比阶判别法证明反常积分0d)1ln(xxxx收敛，然后计算解：0d)1ln(xxxx10d)1ln(xxxx211d)1ln(IIxxxx对于1I，1)(lim0xfxx，所以收敛；对于2I，0)(lim34xfxx，所以收敛；结论：原积分收敛。0d)1ln(xxxx00d)1(12)1ln(2xxxxx2d114d)1(12)1ln(20200ttxxxxx12(10分)写出)21ln(2x的马克劳林级数（即)21ln(2x在点00x的泰勒级数），求这个幂级数的收敛域解：)1ln(x11)1(nnnnx)21ln(2x12nnnx幂级数的收敛半径等于当1x时，幂级数均发散，所以幂级数为13(10分)求幂级数2)1(nnxnn的收敛域，并求该幂级数的和函数解：幂级数2)1(nnxnn的收敛半径为，收敛区间和收敛域均为)1,1(求和方法：)()11(0nnxx，223)1()1(2nnxnnx于是2)1(nnxnn32222)1(2)1(xxxnnxnn求和方法2：令2222)1()1(nnnnxnnxxnn)(2xSx，则)()1(d)1(d)(11212020xSxnnxttnnttSnnnnnxnxxxxxttnttSnnnnnxnx1d)1(d)(202111001xx11)1(于是3)1(211)1()(xxxxS,)()1(22xSxxnnnn32)1(2)(xxxS14(12分)设a为任意正数（1）求函数级数122)1(nnnxx的收敛域；（2）对任意正数a，证明122)1(nnnxx在区间,aa一致收敛,指出该函数级数和函数的连续区间解：(1),(x，122)1(nnnxx是正项级数，根据比值判别法得到11lim221xxuunnn，所以级数收敛域为),(2)0)1()1(2)1(2121222nnnnnxxnxxx所以)(xun在,0a单调增加,在0,a单调减少于是|)(maxaxaxun1)1()(22nnnaaau正项级数122)1(nnnaa收敛，于是根据比较判别法推出122)1(nnnxx在区间,aa一致收敛和函数在,aa连续，由于正数a的任意性，推出函数在,连续。15(8分)假设)(xF在区间,ba存在黎曼可积的导数)(xf求证)()(d)(aFbFxxfba解：由微分中值定理，),2,1()()()(11nixxfxFxFiiiii（其中),(1iiixx）于是niiixFxFaFbF11)()()()(niiiixxf11)(当n时，baniiiixxfxxfd)()(11，所以由上式得到baxxfaFbFd)()()(16(8分)假设正值函数)(xf以为周期，)(xf在区间,0黎曼可积令nnnxxxxfa)1(d1sin)(（,2,1n），求证级数1nna是收敛的交错级数解：注意到xxfsin)(在)1(,nn可积不变号，11x在)1(,nn