高等数学竞赛测试习题3含答案

高等数学竞赛试题 3答案一、选择题1. 设 ，且 ，则 （ C ）nnyzx0)(limnxynzlim(A) 存在且等于零 ; (B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在； (D) 一定不存在.2. 设 是连续函数， 的原函数，则（ A ）)(xf )(xfF是(A) 当 为奇函数时 , 必为偶函数；f(B) 当 为偶函数时, 必为奇函数；)(xf )(x(C) 当 为周期函数时, 必为周期函数；fF(D) 当 为单调增函数时 , 必为单调增函数.)(xf )(x3. 设 ， 在 内恒有 ，记 ，则有（ B ）0af),(a2|)(|0“xff且 adxfI)(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定.III4. 设 有连续导数，且 ， ，当 时，)(xf )(,)0(ff xtftF02)() 0是同阶无穷小，则 （ B ）kF与 k(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5. 设 ，则 在点 （ D ）0,0),(22yxyxf ),(yxf)0,(A) 不连续； (B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设 ，则以向量 、 为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）kjbjia2, ab(A) ； (B) 3, 11； (C) ； (D) .1,3 10,31,27. 设 是包含原点在内的两条同向闭曲线， 的内部，若已知2L与 2L在（k 为常数） ，则有 （ D ）2LxdyA1LxdyA(A) 等于 k； (B) 等于 ； (C) 大于 k； (D) 不一定等于 k，与 L2 的形状有关.8. 设 在 处收敛，则 在 处（ D ）0nxa10)(1nnxa0二、设 ，试确定 、 的值，使 都存在.)(1lim)(2Nnxbaxfnnab与)(lim1xf)(li1xf解：当 时， ，故 ；|21lili0x2()fx当 时，|1x()fx112 11,lim(),li(),1()1,li(),li(),xxxxffabfxabxfabf ， 。0三、设 的一个原函数，且 ，求 .)(xfF是 )0(Ff2cos)(,dxf0|)(|解： ， ，f()cos2Fxxdx，由 知 ， ，2()sinxC01C()1sin2|cosin|22|co|sin| cosi|()cxf xF4004|si)(i)(21)(2).fxddd 四、设 ，S 为 的边界曲面外侧，计算0,|),( 223 azyxaRzy SzxddaI1)(22解： （下侧） ， （上侧） ， ，221:zay22:0xyaSz20S1211 122 22()SSS SSaxdydzxa A A122 21()()SaxdyzzdV 432 2221 34(3)111aaVdVaa 五、已知 ， ， ， ，.10x304x4132x413nx求证：（1）数列 收敛；（2） 的极限值 a 是方程 的唯一正根.nn 01x解一：（1） ，01nx 3113314(4)nnnnxx22114nnnx16212106nnx； 又 收敛， 收敛，3316516nn031nn10nx收敛，又因 ，故 收敛。10()nx1Sxnx（2）令 ， ， ，且 ， ，即 a 是limna0n0a314a10a的根，令 ， ， ， ，41x4()1fx(,)x3(fx()f，故 根唯一。li()xf0解二：由已知 ， ， ， ，由01x30.24x310.2495x3210.49x此可见， ， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加） 。0213设 ， 。nx21nx， 2331214nnn21 2333214n nnxx 由 知 、 收敛，令 ， ；0x21xlimna1lib由 ， ，知 ， 。2n210n0b对 两边取极限得 ， 3214nx34a31a对 两边取极限得 ， 1bb由得 ，解得2()4()0aba0a由 知 收敛，且为方程 的根（再证唯一性） 。nx41x六、设 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：),(yf, 其中 D 为圆环域：20lim 2(0)Dfxydxf 122yx解一：令 ， ， ， 。cosrcosr cosinfxfyffrrffrxy由已知当 时， ，1(,in)0f22xyDDfrfIdd212100(cos,in)|fdrfrd00(cos,in)(cos,in)f f， ，故*2,s,20lim2(,0)If解二：令 ， ，2(,)yfxP2(,)xfyQ2xyQP，令 为 （逆时针） ， 为 （顺时针）2Dfxdxy1L21xy2L2xy12LLPPdA2:cos,sinx1 22(,)(,)(,)()LyfxdfxyyfdfyA1 21(,)(,)(,)(,)Lfffxfxd02sinicoscos,inf，0(co,i)fd *0lim(,i)f0,2。*20 0lim2li(cos,in)2(,)Dxyxf f 七、有一圆锥形的塔，底半径为 R，高为 ，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲)(Rh线在每一点的切线与过该点垂直于 平面的直线的夹角为 ，楼梯入口在点 , 试xoy4( 0)R求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为 ， ，(,)xyzhzrR曲线参数方程为（*） ，()cosin(02)ryhzR在点 的切向量为 ，垂线方向向量为 。(,)xyz(,(vxz (0,1)k， ，cos()in()i