研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

第五章 -矩阵与Jordan标准形,5.1 -矩阵5.2 不变因子与初等因子5.3 Jordan标准形5.4 Jordan标准形的其它求法,5.1 -矩阵,【定义5.1.1】若矩阵,则,阶子式不是零多项式，而一切,称为,子式,的,得元素,都是复数域,（如果有的话）都是零多项式，则称,至少有一个,的多项式，,上未定元,矩阵.,【定义5.1.2】若,矩阵,秩是,记为,零矩阵的秩定义为零.,若,的秩为,则称,为一个具体的数时，,为满秩的或非奇异的.,(注意，当,阶矩阵,的特征矩阵,是一个数字矩阵，此时其秩未必等,于,矩阵的秩为,【例5.1.2】,阶,例如当,为,矩阵,的秩必小于,）,的特征值时，数字,【定义5.1.3】设,为一个,阶,矩阵，,若存在,阶,矩阵,使得：,称为,的特征矩,的逆矩阵，记为,的概念.但对于,是满秩的，但不可逆.事实上，我们,则称,为可逆的，,对于数字矩阵，满秩与可逆是两个等价的,然，可逆的,有如下的定理.,矩阵不一定可逆.例如，方阵,矩阵一定是满秩的，但满秩的,矩阵，这一结论不成立.当,和,证明：若,矩阵,矩阵,可逆,的行列式为一个非零常数.,使得,矩阵,【定理5.1.1】,阶,可逆，则存在,等式两边取行列,式得：,由于,都是,的多项式，所以,是非零常数.,反之，设,是非零常数.则,矩阵的初等变换是指下面的三,因而,是可逆的.这里,为,种变换：,【定义5.1.4】,的伴随矩阵.,乘某行(列)，并将结,(3) 用,(1) 互换两行或两列；,(2) 用非零的数乘某一行或某一列；,果加到另一行(列）上去.,的多项式,常数.同数字矩阵一样，可证：施行行( 列 )初等变,由单位矩阵经过一次上述三种初等变换得到的矩,则称,矩阵施行初等变换不改变这 个 矩,变换相当于在矩阵的左(右)边乘以相应的初等矩阵，,【定义5.1.5】 若,阵称为初等矩阵.因此初等矩阵的行列式为一非零,矩阵,矩阵,并且对一个,阵.,换后化为,经过有限次初等变,与,等价，记为,(1) 反身性：,由初等矩阵的定义可知，,之处.例如：,(2) 对称性：若,足下面三条等价律：,矩阵等价，则它们的秩相,矩阵的等价满,等；反之，则未必成立.这也是与数字矩阵的不同,则,则,（3）传递性：若,显然，若两个,与,的秩相同，但它们不等价.事实上，两个,等价的充要条件是存在一系列初,矩阵,矩阵,常数倍.,与,使得：,矩阵的行列式只能相差一个非零,因而等价的,中至少有一个元素,下面我们研究如何将,矩阵的标准形有多种形式，而且有着不同的应,矩阵化为标准形.,形.,且,用，在此仅介绍其中最基本的一种，即Smith标准,【引理5.1.1】 设,矩阵,的元素,不能被它整除，则必存在一个与,等价的,矩阵,其 (1,1) 处的元素,且次数比,低，并且,整除,则,的所有元素.,【定理5.1.2】 设,且,是首一多项式，,其中,的Smith标准形.,称,【例5.1.3】 将下列矩阵化为Smith标准形：,为,且满足,解：,4.2 不变因子及初等因子,【定义5.2.1】设多项式矩阵,的秩,数为 1 的最大公因子,因子.因而，等价的矩阵有相同的各阶行列式因子.,另外，为讨论方便，规定,中所有,【定理5.2.1】 初等变换不改变矩阵的各阶行列式,的,时，定义,阶行列式因子.当,称为,而,阶子式的首项系,是唯一的，且,的Smith标准形,【定理5.2.2】,矩阵,因为,与,证明：,有相同的各阶行列式因子.,唯一确定，所以,由,这说明,因此,所以,Smith标准形是唯一的.,中，,的Smith标准形,【定义5.2.2】在,矩阵,当,的第,称为,个不变因子，,矩阵,【推论5.2.1】,时，令,与,等价的,充要条件是,与,有相同的行列式,因子或有相同的不变因子.,【定义5.2.3】 设,矩阵,的不变因子为,将,分解为,上的一次因式之积：,这里,互不相同，,为非负整数，,因为,所以,当,时，称,为,因子.,的初等,由初等因子的定义可知，如果给定,的不变因子，则其初等因子就被唯一决定了.反之,如果给定了,的所有初等因子及,的秩，则其不变因子也被唯一决定。事实上，设,的秩为,把,的所有初等因子按不,同的一次因子分类，并按各因子的幂从大到小排,成一个有,列的表(每一行若初等因子的个数不,足,个，则在后面用 1 补上）：,其中,因而,由上面的讨论知道，当已知,的秩,后，求不变因子或行列式因子的,问题等价于求初等因子的问题.,【例5.2.1】求,阶矩阵,的不变因子、初等因子及 Smith 标准形.,解：在,中去掉第 1 列，第 n 行后，得到一,个值为 1 的,的,阶子式，所以,阶行列式因子,由于,的第,所以,个不变因子,又由于,因此,【定理5.2.3】设,得初等因子为,其Smith标准形为,的初等因子的全,矩阵,下面给出一个求初等因子的方法，它不必事先,为分块对角矩阵,的全部初等因子.,体构成了,则各子块,知道不变因子.,使得每一子块的初等因子或不变因子可以相对,通过教材第89页例5.2.2，可以归纳出求一个,的Smith标准形的步骤如下：,(2) 求出每块,矩阵,(1) 先将,通过初等变换化为准对角矩阵,的初等因子.,(3) 把,来说容易求出.,的形式：,的所有初等因子放在一起，即得,的初等因子，进而可求出,的不变,因子及Smith标准形.,5.3 Jordan标准形,【定义5.3.1】形如,阶的 Jordan 块.,的方阵称为,【定义5.3.2】由若干个 Jordan 块组成的准对角矩阵,方面，Jordan 标准形在不计 Jordan 块的次序的情,为,另一,称为 Jordan 标准形.,况下，由 Jordan 块的个数，每个 Jordan 块的阶数，,的初等因子,由例 5.2.1 及定理 5.2.3，,以及每个Jordan块的对角线元素唯一确定.而这三个,元素正好由,【定理5.3.1】复数域,上两个,定.,的全部初等因子反映出来.因此若不,阶矩阵,由其全部初等因子唯一确,计 Jordan 块的次序，,与,相似,与,等价.,【推论5.3.1】复数域,上两个,阶矩阵,与,相似,与,有相同的不变,因子或有相同的初等因子.,【定理5.3.2】(Jordan标准形定理) 每个,的 Jordan 标准形，并常记,阵,阶复矩,都与一个 Jordan 标准形相似.这个 Jordan,标准形除了其中 Jordan 块的排列次序外被,唯一决定.称其为,证明：设,阶矩阵,的特征矩阵,的初等因子为,相似.,令,与,并令,因此,则,与,有完全相同的初等因子，,例5.4.1 求矩阵,的 Jordan 标准形.,解：首先求,的初等因子，,的初等因子为,Jordan 标准形为,【推论5.3.2】复矩阵,与对角矩阵相似,的初等因子都是一次的.,5.4 Jordan标准形的其他求法,5.4.1 幂零矩阵的 Jordan 标准形,设,是,但,为,阶矩阵，即存在正,整数,称,的幂零指标.显然这时，,使得,为一个非零的,的最小多项式,【引理5.4.1】,为一个幂零矩阵,的特,征值全是零.,一个,具有如下形式：,阶幂零矩阵,其中,的 Jordan 标准形,形为,【定理5.4.1】设,的 Jordan 标准,阶幂零矩阵,幂零指标为,则,(1),的零度等于,(2),中 Jordan 块的个数；,(3),中,阶 Jordan 块的个数为,记,的零度为,则,证明：(1) 由于,所以,另一方面，,所以,但是，,因,所以,但,所以,这就证得,(3) 根据,(2),的零度之和,且,的零度等于,的零度，等于,的零度,的零度,据此，我们有,的零度,的零度),的零度,的零度）,的零度,的零度,的零度）,的零度),的零度,的零度）,的零度,的零度）,现由,可得,而由,可得,例5.4.3 求矩阵,的 Jordan 标准形,并求可逆矩阵,使得,解：在例5.4.3中已经求得,表示,现用,个列向量.则由,的第,可得：,也即,施行初等变换得：,以下仅对矩阵,的一个解,可求得方程组,令,有解得充要条件为,以及方程组,则方程组,故可取,进一步求得方程组,的一个解为,的一个解为,5.4.2 一般矩阵的 Jordan 标准形的计算,设,其中,阶复矩阵，假设,的,Jordan 标准形为,为一个,【引理5.4.2】设,的 Jordan 标准形为,的,则,的特征多项式为,为,阶矩阵,Jordan 块的个数为,的零度为,中对角线元素为,的特征值，记,【定理5.4.2】设,则,(1),等于,中对角线元素为,阶,的 Jordan 块的个数.,(1),当,因此,的特,所以,征多项式为,解：设,标准形.,是秩为 1 的,【例5.4.6】试确定秩为 1 的 n 阶复矩阵的 Jordan,至少有,(2),个特征值都是零，而另一个特征,值为,阶复矩阵.则,的 Jordan 标准形为：,(2),当,习题5选解,5. 求下列矩阵的Jordan标准形：,求,矩阵的所有特征值都为零，所以,解：对特征矩阵,施行初等变换：,习题5选解,7. 证明：不等于零的幂零矩阵一定不相似于对角,求,矩阵的所有特征值都为零，所以,9. 设,似于零矩阵，因此,矩阵.,证明：设幂零矩阵,就相,相似于对角矩阵.则因幂零,解：,进而,的初等因子为,从而存在 3 阶可逆矩阵,使得：,11. 如果矩阵,问,的特征多项式和最小多项式相同，,答：属于同一特征值的 Jordan 块的个数为 1 .,的 Jordan 标准形有何特点？,第六章 特殊矩阵,6.1 Schur定理6.2 正规矩阵6.3 实对称矩阵与Hermite矩阵6.4 正交矩阵与酉阵,6.1 Schur定理,【定理6.1.1】设,为,的特征值，,，则存在酉矩阵,使得：,则,阶方阵，,为一个上三角阵。,其中,【定义6.1.2】（Schur不等式）设,为,且等号成立,酉相似于对角矩阵。,证明：由Schur定理，存在酉矩阵,使得：,为上三角矩阵，其中,因此,由此得到,这说明,与,相似。所以,等号成立当且仅当,酉相似,于对角矩阵。,6.2 正规矩阵,【定义6.2.1】设,实对称矩阵、,酉相似的矩阵仍为正规矩阵。,，若,则称,又为三角矩,都为正规矩阵。与,为正规矩阵。,阵、正交阵、酉矩阵,【引理6.2.1】设,为正规矩阵，若,阵，则,为对角矩阵。,证明：,为,阶上三角矩阵，即,再取,因此，,的,得：,比较,取,位置的元素，得,得：,依次分别取,最后可得：,规矩阵。,证明：充分性：对角矩阵显然为正规矩阵，而与正,为正,酉相似于对角矩阵。,即,为正规矩阵,为对角矩阵。,必要性：若,规矩阵酉相似的矩阵仍为正规矩阵，所以,为正规矩阵，由 Schur定理，,【定理6.2.1】设,酉相似于一个上三角矩阵,因而,正规矩阵，由引理6.2.1，,也是,为对角矩阵，即,相似于对角矩阵。,是相互正交的。,设,有,则,为正规矩阵,征值。,为正规矩阵,其中,【定理6.2.2】设,为,的特,为正规矩阵且幂零，则,个两两正交的单位特征向量。,【推论6.2.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量,【定理6.2.3】,【例6.2.1】,满足,证明：因,为正规矩阵，所以存在酉矩阵,说，,幂零，即存在,，因,使得,也就是,由于,所以,6.2 实对称矩阵与Hermite阵,【性质6.3.1】设,的特征值都是实数；,正交相似于对,为,阶,使,为实对称矩阵，则,（1）,（2）若,证明：（1）因,矩阵为正规矩阵，所以,阵，则,角矩阵。,存在酉矩阵,而,所以有,的元素及,为对角矩阵，,其中,为,向量.因此，在相似于对角矩阵时，可取酉阵为正交,的特征值.这样可使得所求的特征向量皆为实,为实系数方程组，其中,矩阵.,由此即得结论（1）.,求正交矩阵,的特征值均为实数，因此,使,方程组,(2) 由于,【例6.3.1】,解: 首先求,的特征值及相应的特征向量：,因而,的特征值为,求得属于,是正交矩阵，且,所以,的单位特征向量分别为,为Hermite,为实数.,的实二次型.,为矩阵,称,为实对称矩阵，,为矩阵,的Hermite型或复二次型；若,由此得,证明：,称,有,阵，,设,【定义6.3.1】,【性质6.3.2】,Hermite型的值总是实数.,【定理6.3.1】,（1）任何一个Hermite型,都可通过酉变换化为标准形:,都可通过正交变,为,（或,设,其中,都有,（或,换化为标准形：,（2）任何一个实二次型,）为正定的.相应地,（或实二次型,），则称Hermite型,),【定义6.3.2】,的特征值.,为Hermite阵（或实对称矩阵），,若对,为正定矩阵，记为,【定义6.3.3】,为,矩阵），,阶Hermite矩阵，(或实对称,为,设,(或,）的一个,维子空间.,若对,都有,（或,）,则称,在一个,维子空间,上正定.,【定理6.3.2】,Hermite矩阵或实对称矩阵,在某个,维子空间上正定,至少有,个特征值（,包括重数）大于零.,【推论6.3.1】,为正定的Hermite矩阵（或实,设,Hermite矩阵(或实对称矩阵）,的特征值全大于零.,对称矩阵），则,阶Hermite矩阵（或实对称矩阵）,正定,的所有顺序主子式全大于零.,【推论6.3.2】,【定理6.3.3】,6.4 正交矩阵与酉矩阵,【性质6.4.1】设,的特征值的模都等于1.,为,为酉矩阵（或正交矩阵），则,故得,注意到,证明：设,是对应的,特征向量.则,因,的任意特征值，,便可得,设,【定理6.4.1】,个行向量都是一组标准正交基.,为酉,的标准正交基变到标准正交基；,矩阵（或正交矩阵）,）,则,个列