第十七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答

槡 槡 槡 （ ） （ ） 槡 （ 槡 ）槡 （ 槡 ）（ 槡 ）（ 槡 ）（ 槡 ）（ 槡 ） （ （ 槡 ） ） 数 学 通 报 年 第 卷 第 期第 十 七 届 北 京 高 中 数 学 知 识应 用 竞 赛 决 赛 试 题 及 解 答竞 赛 时 间 ： 年 月 日 ： ： 一 、 我 们 知 道 ， 、 复 印 纸 是 彼 此 相 似 的长 方 形 ， 它 们 的 长 宽 比 是 槡 ， 我 们 称 这 样 的 长方 形 为 槡 长 方 形 对 于 一 张 正 方 形 的 纸 ， 仅 使 用 折叠 的 方 式 就 可 以 将 它 折 成 槡 长 方 形 的 形 状 步 骤如 下 ：第 一 步 折 叠 正 方 形 ， 使 其 对 角 线 为 折 痕 ；第 二 步 掀 起 ， 折 叠后 将 与 重 合 ， 折 痕 为 ， 点 关 于 的 对 称 点为 ；第 三 步 折 叠 出 过 点 第 二 步 过 点 将 点 折 到 上 ， 折 痕 为 ， 点 关 于 的 对 称 点 为 ；第 三 步 延 长 交 于 点 ， 折 叠 出 过点 的 折 痕 ， 使 则 四 边 形 为 槡 长 方 形 证 明 ： 显 见 是 正 三 角 形 ， 是 这 个三 角 形 的 高 故 槡 又 ， 所 以 槡 二 、 用 一 个 边 长 为 厘 米 的 正 方 形 包 装 纸 ，包 住 一 个 体 积 最 大 的 正 四 棱 锥 ， 求 这 个 正 四 棱 锥的 底 面 边 长 和 体 积 （ 精 确 到 ）解 由 对 称 性 考 虑 ， 正 四 棱 锥 的 底 面 中 心 应的 折 痕 ， 使 图 该 与 正 方 形 包 装 纸 的 中 心 重 合 ， 能 包 出 最 大 体 积如 图 所 示 则 长 方 形 为 槡 长 方 形 （ ） 请 对 上 面 得 到 的 结 论 给 出 证 明 （ ） 请 在 正 方 形 纸 上 折 叠 出 槡 长 方 形 并 叙 述折 叠 的 步 骤 和 证 明 解 （ ） 过 点 作 边 的 垂 线 ， 与 相 交于 点 （ 图 ） 由 折 纸 的 第 三 步 可 知 ， 折 痕 ， 从 而 四 边 形 构 成 一 个 正 方 形 ， 且 有 槡 由 折 纸 的 第 二 步 可 知 正 四 棱 锥 的 可 能 情 形 只 有 两 种 ：（ ） 正 四 棱 锥 的 底边 和 正 方 形 的 对 角 线 平 行 ，（ ） 正 四 棱 锥 的 底 边 和正 方 形 的 底 边 平 行 设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 ， 侧 面 的 斜 高为 因 此 长 方 形 的 长 宽 比 为 槡 从 而 它 是 个 槡 长 方 形 （ ） 折 叠 槡 长 方 形 ， 如 图 情 形 图（ ） 对 情 景 情 形 图图 图 第 一 步 将 正 方 形 的 两 对 边 与 重 合 对 折 ， 折 痕 为 ；解 法 根 据 图 示 ， 可 见 槡 ，得 槡 ， 槡 （ ）（ ） 槡 （ 槡 ） （ ） 熿 （ 槡 ） 燄 槡 槡 燅燀 （ ） 槡 槡 （ ）槡 （ ）解 得 槡 槡 ， 即 槡 ， 字 ， 把 你 的 方 案 填 到 下 面 的 表 格 中 ， 并 说 明 理 由 解 方 案 不 唯 一 ， 只 要 符 合 下 面 两 个 原 则 ：个 方 块 上 个 数 字 的 位 置 关 系 无 关 例 如 ：槡 （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ （ ） ）槡 （ ）（ ） 槡 （ ） 所 以 最 大 值 槡 （ ） （ ）解 得 ， 即 ， （ 不 合 题四 、 小 王 到 某 一 个 车 站 等 公 交 车 该 公 交 站 有下 表 ：棱 锥 的 边 长 约 为 ， 体 积 为 对 情 景 ， 最 大 正 四 棱 锥 的 边 长 约 为 ， 年 第 卷 第 期 数 学 通 报 等 号 成 立 条 件 ： 槡 槡 ， 即 槡 解 法 对 （ ） 式 中 的 求 导 数 ： 令 槡 槡 （ 不 合 题 意 舍 去 ）（ ） 对 情 景 解 法 根 据 图 示 ， 可 见 ， ， 用 平 均 不 等 式 求 最 大 值 ： 请 你 尝 试 确定 表 示 日 期 的 两个 方 块 上 的 数 两 个 方 块 上 都 有 数 字 ， ， ； 和 通 用 （ 即 其 余 数 字 是 ， ， ， ， ， 或 ， ， ， ， ， ）这 些 数 字 一 共填 满 两 个 方 块 的 个 面 ， 与 每 （ ）等 号 成 立 条 件 ： ， 即 ， 解 法 对 （ ） 式 中 的 求 导 数 ， 令 槡 槡 （ ） 、 两 路 公 共 车 都 可 以 把 他 带 到 目 的 地 两 路 车先 前 曾 同 时 到 达 了 这 个 车 站 ， 其 中 路 车 之 后 每二 十 分 钟 再 来 一 趟 ， 路 车 之 后 每 十 二 分 钟 再 来一 趟 如 果 不 考 虑公 交 车 晚 点 的 情 况 ，小 王 随 机 地到 达 该 站 后 ， 他 等车 的 时 间 的 均 值 是多 少 ？解 不 考 虑 汽 车 晚 点 的 情 况 ， 如 果 这 两 路 汽车 在 时 同 时 到 达 后 面 到 达 该 站 的 时 刻 如意 舍 去 ）体 积 为 综 合 情 景 和 情 景 ， 可 见 ， 最 大 体 积 的 正 四（ 注 ： 给 出 边 长 为 ， 体 积 为 也 算正 确 ）三 、 下 图 是 一 个 将 三 个 方 块 放 在 塑 料 支 架 上拼 成 的 三 棱 柱 形 日 历 其 中 左 侧 两 个 方 块 的 每 个面 上 各 写 着 一 个 数 字 ， 用 这 两 个 方 块 上 数 字 可 以拼 出 每 月 的 日 期 ， ， ， ， ； 右 侧 方 块 上 写着 月 至 月 六 个 面 上 的 数 字方 块 方 块 六 个 面 上 的 数 字方 块 方 块 时 刻 到 达 到 达 时 段 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）时 段 长 可 见 ， 经 过 一 个 小 时 ， 两 路 车 又 同 时 到 达 ， 即各 时 间 区 段 的 时 长 如 下 表 ：（ 分 钟 ）如 果 小 王 在 时 间 区 段 （ ， ） 随 机 到 达 的 话 ，变 化 周 期 为 一 个 小 时 ， 所 以 等 候 均 值 只 需 考 虑 一个 小 时 即 可 由 于 在 这 分 钟 他 是 等 可 能 到 达 的 ， 因 此 ， 他 的 （ 分 钟 ） 表 ， ， ， ， 路 长 内 的 车 辆 数 ， 从 而 得 到 车 流 密 度 ： 单 位 距 离 数 学 通 报 年 第 卷 第 期平 均 等 待 时 间 是 分 钟 同 理 ， 在 另 外 个 时 间 区段 上 都 是 随 机 到 达 的 话 ， 他 的 平 均 等 待 时 间 就 分别 是 分 钟 ， 分 钟 ， 分 钟 ， 分 钟 ， 分 钟 ， 分 钟 现 在 ， 把 这 几 个 平 均 等 候 时 间 做 一 下 加 权 平均 ， 即小 王 的 平 均 等 候 时 间 五 、 新 华 网 北 京 年 月 日 电 ： “首 都实 行 缓 堵 综 合 措 施 后 ， 出 现 了 早 、 晚 高 峰 主 干 路 网流 量 下 降 、 车 速 提 高 的 效 果 监 测 显 示 ， 今 年 季度 比 去 年 季 度交 通 运 行 情 况 有所 改 善 其 中 ， 早高 峰 主 干 路 网流 量 下 降 ， 速 度上 升 ”（ 这 里 的“流 量 ”即 为 道 路车 流 量 ， 速 度 即为 “车 流 速 度 ”）（ 上 接 第 页 ）与 低 的 衔 接 教 学 贵 在 简 单 、 贵 在 有 效 ！ 事 实 上 ， 教 学 设 计不 断 有 效 的 过 程 ， 其 实 就 是 不 断 去 删 繁 就 简 的 过程 因 为 往 往 最 深 刻 的 东 西 就 是 最 简 单 的 东 西 教 学 即 研 究 ， 研 究 才 能 教 得 更 好 ， 研 究 才 能 教得 更 有 意 思 与 同 行 们 共 勉 （ ） 请 使 用 数 学 的 语 言 给 出 “道 路 车 流 量 ”和“车 流 速 度 ”的 含 义 （ ） 表 记 录 的 是 在 一 个 路 段 上 不 同 时 间 段通 过 的 车 辆 数 （ 以 小 车 计 算 ， 大 车 已 经 折 算 成 小车 ）， 请 由 此 估 算 该 路 段 在 时 的车 流 量 （ ） 怎 样 收 集 观 测 数 据 才 能 确 定 车 流 速 度 ？解 （ ） 道 路 车 流 量 ： 单 位 时 间 通 过 的 车 辆数 ， 记 作 ，车 流 速 度 ： 单 位 时 间 车 流 经 过 的 距 离 ， 记作 ，（ ） 表 中 共 有 个 时 段 的 数 据 ， 记 ： 第 时 段 长 （ 秒 ）， ： 第 时 段 通 过 的 车 辆 数 ， ： 第 时段 平 均 车 头 时 距 ， 即 （ 秒 ）， 按 专 业 公 式有 ： 道 路 车 流 量 （ 辆 小 时 ）据 此 可 经 计 算 得 ： ， ， ， ， ， ， ， 该 路 段 在 ： ： 的 车 流 量 可 由 上 述车 流 量 的 平 均 值 （ 平 均 车 流 量 ） 表 示 ， 经 计 算 得 ， 该路 段 在 ： ： 时 的 车 流 量 为 辆 小 时 （ ） 按 前 面 车 流 速 度 的 定 义 ， 不 易 直 接 观 测 出所 需 数 据 ， 再 考 虑 车 流 量 的 定 义 ， 便 得 到 “车 流 量 车 流 速 度 车 流 密 度 ”， 于 是 可 以 考 虑 获 得 一 定内 的 车 辆 数 （ 辆 公 里 ） 下 面 给 出 计 算 车 流 密 度 和车 流 量 所 需 数 据 的 收 集 方 法 在 过 街 天 桥 上 拍 这 段 路 的 照 片 ， 车 辆 数便 在 其 中 ； 根 据