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线性方程组与矩阵秩的若干问题,福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿,引言,矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。,一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用,m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：,线性方程组(1)的矩阵表示为：,其中，,线性方程组有解的判定定理,线性方程组(1)有解的充分必要条件是,这里， 表示矩阵 的秩。特别地，,若 ，则线性方程组(1)有唯一解； 若 ，则线性方程组(1)有无穷多解。,利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。,1. 直线与直线的位置关系,设几何空间中两条直线的方程分别为,这样， 与 的位置关系取决于线性方程组,解的情况。记,则有如下结论：,（i） 与 相交,（ii） 与 重合,（iii） 与 平行,（iv） 与 异面,2. 直线与平面的位置关系,设几何空间中直线和平面的方程分别为,记,则有如下结论：,（i） 与 相交,（ii） 在 上,（iii） 与 平行,3. 三个平面的位置关系,设几何空间中三个平面的方程分别为,记,则有如下结论：,（i）三个平面有一个公共点,（ii）三个平面有一条公共直线,（iii）三个平面平行,（iv）三个平面构成三棱柱,二. 矩阵秩不等式中的一些问题,关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.,Sylvester不等式：,设 、 、 分别是 、 、 矩阵.,Frobenius不等式：,问题： 在这两个不等式中等号成立的条件是什么？,即以下等式成立的条件分别是什么？,许多教材以习题方式给出等式成立的充分必要条件：,当且仅当齐次线性方程组 与齐,次线性方程组 同解.,利用这一结果，可以得到等式成立的充分必要条件：,当且仅当齐次线性方程组 与齐次线性方程组 同解.,对于等式和等式，文献3、文献4均做了研究，给出等式成立的充分必要条件.,文献3的结论：,的充分必要条件是存在矩阵,和 ，使得 .,的充分必要条件是存,在矩阵 和 ，使得 . 其中， 是,的任意取定的一个满秩分解.,文献4的结论：,的充分必要条件是,对于齐次,线性方程组 的任一解 ,都存在 使得 .或,的充分必要条件是,对,于齐次方程组 的任一形如 的解,都存在 ,使,得 .,者说, 的零空间包含于 的象空间,即 .,文献5利用矩阵的广义逆，分别给出等式等式成立的充分必要条件.,引理1 对于任意适维矩阵 、 、 ，有,这里列出其主要结果：,引理2 对于任意 、 ，有,引理3 设 有n列， 有n行，则对任意 、 ， 有,定理1 在Sylvester不等式中，对
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