复变函数与积分变换期末考试题

哈 尔 滨 工 程 大 学 本 科 生 考 试 试 卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得 分 评 卷 人 选 择 题 （ 每 小 题 2分 ， 共 10分 ）一 、1、 （ ）.00Imlizz 不存在 i i02、若 在 发散，则它在 （ ）.0(1)nnaz3A. 收敛 收敛 C. 发散 D. 均不正确2z2zi3、已知函数 ，则 ， 分别是 的 （ ）.21()cosfzz0z()fz二阶极点、孤立奇点 二阶极点、非孤立奇点可去奇点、孤立奇点 可去奇点、非孤立奇点4、映射 在 处的旋转角为 （ ）.3ziw02i C. D. /2/25、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I： Lnz：设 解析，则 是 的共轭调和函数 (),)(,)fuxyivuvIII： 的导数 存在的充要条件是 的偏导数分(),)(,)fzuxyiv()fz ,uv别存在： 在任意圆环域 不能展开为洛朗级数()tan1/)fzz0zR 3 0 2得 分 评 卷 人 填 空 题 （ 每 小 题 2分 ， 共 10分 ）二 、6、设 ，则 .zieRez7、若函数 为某一解析函数的虚部，则常数 .32(,)vxyaxya8、设函数 的泰勒展开式为 ，则它的收敛半径为 .cosze0nzc9、设信号 ，则通过 Fourier 变换得到的频谱函数 .()1)ft ()F10、设 ，则通过 Laplace 逆变换得到 .()1)Fs ()ft得 分 评 卷 人 计 算 题 （ 每 小 题 5分 ， 共 25分 ）三 、11、函数 在何处可导？何处解析？3()2fzxiy12、设 是解析函数，且 ，求(),)(,)fzuxyiv22()4)uvxyxy.13、计算积分 ，其中 为负向， 为整数.()nCzdA:1Czn14、计算积分 ，其中 为正向.(21)CzdA:3Cz15、利用留数定理计算定积分 .201cosd得 分 评 卷 人 计 算 题 （ 每 小 题 6分 ， 共 18分 ）四 、16、求函数 在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：23()zf(1) 圆 内；1z(2) 环 内；12z(3) 环 内.1z17、设 正向，试求：231sin(),:3CefzdzizA(1) 在复平面上除去 的点处的函数表达式；f(2) 及 .()i)fi18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域 ，如下图所示。通过何/6arg/6z种变换，保形映射为 平面上的右半平面？在下图方框中填入该变换.1w平面1w(2) ，在下图中画出经过该映射后的区域.21()wi得 分 评 卷 人 应 用 题 （ 8分 ）五 、19、质量为 的物体挂在弹簧系数为 的弹簧一端（如下图所示） ，其中m20km常数 为固有频率， 为作用在物体上的外力。若物体从静止平衡位置0()ft开始运动，物体的初始位移 初始速度大小 ，根据牛x(),x(0)x顿定律可得到方程： ()()mtfkt假设在初始时刻 时，物体受到外力 （ 为单位冲击函数） ，0t()t应用 Laplace 变换，求解物体的运动规律 。()xtxx=0mxkxf(t)得 分 评 卷 人 证 明 题 （ 5+4=9分 ）六 、20、假设 在给定区域 D 解析，且 ，若 为常数，证明：()fz()0fz()fz为常数.21、若 收敛而级数 发散，证明：幂级数 的收敛半径为 1.1na1na 1naz题号 一 二 三 总分分数评卷人得 分 评 卷 人 填 空 题 （ 每 小 题 2分 ， 共 20分 ）一 、1. .3i2. 设 ，则 .3223()fzxyixi()fz3. 幂级数 的收敛半径 = .0cos)nnizR4. 设 为正向圆周 ，则积分 .C322d(1)4CzA5. 设 C 为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，则 . 12edzC6. 0 是函数 的孤立奇点，其类型为 .z5cos1()zf（如果是极点，则要说明阶数）7. 函数 在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 . 2()1)fz8. 映射 将 平面内的圆域 映射到 平面内的区域为 .w1zw9. 函数 在 处的转动角为 .sinz4哈 尔 滨 工 程 大 学 本 科 生 考 试 试 卷（ 2012 年 秋季 学期）课程编号：0911009 课程名称：复变函数与积分变换 (A 卷) 2012-12-0210. 已知函数 ， ，则 . 0,()1.tut0,()e.tft()*utf得 分 评 卷 人 单 项 选 择 题 （ 每 小 题 2分 ， 共 20分 ）二 、说明：请将以下单项选择题的答案按题号写入下表中.1 2 3 4 5 6 7 8 9 101方程 所表示的平面曲线为（ ）.2Re1z(A) 圆 (B) 直线 (C) 椭圆 (D) 双曲线2极限 的值为（ ）.0limz(A) (B) 1 (C) 1(D)不存在3设 ，则 为（ ）.Ln(1)wiIw(A) 4(B) 2,01,4k(C) (D) 4下列等式中，不成立的是（ ）.(A) 4arg(34)arctn3i(B) arg(3)r()ii(C) 2g()i(D) 2|z5下列函数中，在整个复平面上解析的