经济数学基础上函数与极限的笔记整理

第 1 页， 经济数学基础 （上）笔记整理目录一、函数 .21. 函数的两个要素 .22.求定义域的方法 .23.分段函数 .34.常用的三角函数值 .35.函数的有界性 .36.函数的奇偶性 .37.判断函数的单调性 .48.基本初等函数： .49.复合函数 .410.初等函数 .411常用经济函数 .5二、极限 .61.极限的几种常用记号 .72.定义 1.10.73.左极限与右极限 .74.定理 1.1 .75.分段函数讨论分段点处的极限 .76.极限的运算 .8（1） f（x）=f（ ） .8（2 ） 型，未定式 .800（3 ） 型，未定式。 .97.两个重要极限 .12（1） .12 0=1（2 ） （P31） .14 1+1= 01+18.无穷小与无穷大 .159.函数的连续性 .15【总结：极限运算的题型】 .181. f（x）=f（） .182. 型，未定式。 .18003. 型，未定式。 .194. 型，未定式。 .1915. 无穷小有界函数 =无穷小（0） .196. 分段函数中，求分段点处的极限。 .197.函数的连续 .19第 2 页， 附件：数学作业 .19第一次 .19第二次 .20第三次(3 月 21 日) .20第四次(3 月 29 日) .20一、函数1. 函数的两个要素：定义域和对应法则2.求定义域的方法：【会做书上 P5 的例 2 的（1） （2 ） （3） 】分母0偶次根号内0对数中的真数0【练习】书 P45，4 （1） （2） （ 6）这三道题根据上边的知识点就能做出来了。求定义域取并集。（6 ） =（ 3）|1解：由题得， 30|10 1此函数的定义域为（- ） （1,3）， 1 第 3 页， 3.分段函数：分段函数是一个函数；分段函数的定义域取并集4.常用的三角函数值角度 0（ 2） 2 sin 0 1 0cos 1 0 -1tan 0 不存在 05.函数的有界性（了解，书 P8 图）（1 ）从图像上看，函数的有界性是指：图像被两条平行于 x 轴的直线 y=M，y=-M 夹住了。（2 ）常见的有界函数：y=c 常数函数；y= ；y= ，以及由这些有界函数经过sin cos复杂的运算后所得到的。6.函数的奇偶性（书 P8）（1 ）常见的奇函数：y= ；y=奇 sin（2 ）常见的偶函数：y= ；y= ；y=c偶 cos注意：奇函数可以认为是的，偶函数可以认为是+ 的。判断奇偶性时直接带符号。但函数的奇偶性与它前边的正负号无关。第 4 页， 7.判断函数的单调性（P9）（1 ）求导 导 数 0， 为 增函数导 数 0， 为 减函数 （2 ）图像从左到右 图 像上升 为 增函数图 像下降 为 减函数 8.基本初等函数：（书 P11）（1 ） “基本”指的是函数的原型：自变量的位置是一个字母（2 ）其他函数还没讲9.复合函数（P16）（1 ）复合函数是由若干个基本的或简单的函数通过代入得到的（2 ）分解复合函数：由外向里，层层分解到基本的或简单的函数.书上的分解复合函数题得答案都是倒着的，你把顺序改过来就对了。【书 P7 的（ 1）（6 ） ，补充： ，解：=2（ +4）】y=， =2， =sin， =+4（3 ） =3=（ sin） 310.初等函数（P17）初等函数只能用一个式子来表示，所以除了分段函数外，其他函数都是初等函数。第 5 页， 11常用经济函数（P3941）书上有概念和公式，看懂就行了。主要记住线性的函数，均衡价格。【会做书上 P40 的例 1、例 2】【书 P47 ， 22】解： =130,0700700130+(700)13090%,7001000所以， =130,070091000+117(700),7001000【书 P48， 23】解：C(q)=2000+15qR(q)=20q保本C（q）=R（q ）2000+15q=20qq=400【书 p48,26】解：设线性成本函数为 c=a+bq由题得，【例题】游戏机每台卖 110 元，固定成本 7500 元，可变成本为每台 60 元。（1 ） 要卖多少台，厂家才可保本（收回投资）？（2）若卖 100台，厂家盈利或亏损多少？（3）要获得 1250 元的利润，要卖多少台？第 6 页， 解：（1 ）C（x）=C（固）+C（变）=7500+60xR（x） =110x保本C（x）= R（x ）X=150（2 ） C（100）=7500+6000=13500R(100)=110100=11000亏损= C（100 ）-R(100)=2500（3 ） L（x）=R（x ）-C（x）=1250110x-7500-60x=1250X=175二、极限（P21 ，重点讲 P21 的第 2 个极限：x 时函数的极限）01.极限的几种常用记号x ，x 从 两侧方向无限接近 ，x 0 0 0 0 ，x 从 右侧方向无限接近 ，x 0+ 0 0 0第 7 页， ， x 从 左侧方向无限接近 ，x0 0 0 0x ， 无限增大|x+ ， x 的值无限增大x- ，x 的值无限减小2.定义 1.10（P21）极限 A 是常数，y 越来越接近 A；yA 与 x 在 处是否有定义无关03.左极限与右极限（P21）知道左极限是 ，右极限是 ，就0（ ） =0+（ ） =行了。不需要看懂定义。4.定理 1.1（P22）5.分段函数讨论分段点处的极限，遇分段点处左、右表达式不同时，必须考虑左右极限。 （会做 P22 例 5）【练习题】已知 在 x=1 处有极限，求 a（ ） =32， 12+4， 1解： （左极限，见 1 的）1（ 32） =3第 8 页， （右极限，见 1 的）1+（ 2+4） =6x=1 处有极限3-a=6a=-3【根据知识点 4、5 所知，函数有极限，说明左极限=右极限】6.极限的运算（P25） 【会做下边的例题】（1） f（x）=f（） ，将 后的“”代入 f（x ）中。 （做任何limx题得方法都是先代入，看看该怎样做。分子分母没有得 0 或 的，或只有一项得 0 或 的，直接代入做，看第 1 步。若分子分母都为0 的，看第 2 步。若分子分母中都为 的，看第 3 步。 ）若 ，则 lim f（x）=0；若 ，则 lim f（x） =0 0 若 ，则= ，则=0 ； 若 （2） 型，未定式。00分解因式，约分有根号，有理化 【见下边 7 的（1） 】0sin =10sin =1洛必达法则（还没讲）第 9 页， （3） 型，未定式。 = 0，上小下大 （ 最高次 幂 ），上大下小（最高次 幂 前的系数比），上 =下 洛必达法则（还没讲）【例题：求极限】 （ 型，未定式） 【分解因式，再代入】3293 00=3（ +3） （ 3）3=3（ +3）=6 （ 型，未定式） 【分解因式，再代入】124+32+2 00=1（ 1） （ 3）（ 1） （ +2）=13+2=-23 （ 型，未定式） 【有根号，分子有理化】0+11 00=0（ +11）（ +1+1）（ +1+1）=0 （ +1+1）第 10 页， =0 1（ +1+1）=12 （ 型，未定式） 【有根号，分母有理化】22+73 00=2（ 2） （ +7+3）（ +73）（ +7+3）=2（ 2） （ +7+3）2=2（ +7+3）=6 （ 型，未定式） 【分子与分母的最高次方都22+1322 =23 是 2，上=下