有限元法理论及应用参考答案

有限元法理论及应用大作业1、 试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有： （1）结构的离散化，即单元的划分； （2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理 建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （3）等效节点载荷计算； （4）整体分析，建立整体刚度方程； （5）引入约束，求解整体平衡方程。2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。题 2 图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。有限元划分网格的基本原则:1. 拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2. 几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似3. 特性一致原则。即材料相同，厚度相同4. 单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小5. 密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？题 3 图答：（a）划分为杆单元， 8 个节点，12 个自由度。 （b）划分为平面梁单元，8 个节点，15 个自由度。 （c）平面四节点四边形单元，8 个节点，13 个自由度。 （d）平面三角形单元，29 个节点，38 个自由度。4、什么是等参数单元？。答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？(1). (2). 2654321),(yxyxvu2652431),(yxyxvu答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标 x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。（1）集中力 F 平行于 x 轴， e 点到 i、j 点的距离分别为 ie， je；（2）边长为 ij 的 ij 边上有线性分布载荷，最大值为 q。题 6 图答：（1） 0jeijalF0jeiialF（2）i,j 两节点受到的力分别为 ，ijql61ijl3cos61inijjiqlPcosnijijjlP7、图示三角形 ijm 为等边三角形单元，边长为，单位面积材料密度位 ，集中力 F 垂直作用于 mj 边的中点，集度为 q 的均布载荷垂直作用于 im 边。写出三角形单元的节点载荷向量。题 7 图 题 8 图答：将 q 移置到 m,i 节点： qlPm413qlPi413将 F 移置到 m,j 两节点： FPm4132 FPj4132将重力移置到 i,j,m 点： 32310jiml叠加后得： 2134lFqlPm2134lqlPi 2134lj 8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知 i、j 两个节点的位移为零，试证明 ij 边上任意一点的位移都为零。证：设 ij 边上任一点坐标为 x,y，则其位移为：i、j 点位移为 0 所以 ui,vi,uj,vj均为 0要证 =0，只需证 N m=0N m=(am+bm x +cmy)/2A ，a m=xiyj-xjyi ，b m=yi-yj ，c m=xj-xiN m= xiyj-xjyi+(yi-yj)x+(xj-xi)y/2A=xyi-yxi/2A该点为 ij 边上任一点y i/xi=y/xNm = 09、已知图示的三角形单元，其 jm 边和 mi 边边长均为 a，单元厚度为 t，弹性mjiji mji vuvuNN00模量为 E，泊松比为 0，试求：（1）行函数矩阵 N；（2）应变矩阵 B；（3）应力矩阵 S；（4）单元刚度矩阵 K。解：令 m 点为坐标原点，则 m 点坐标为（0,0） ，j 点坐标为（0,a） ，i 点坐标为（a,0）， ，0ajji yx0miijyxa 2ayxaijji， ， ;bmji imjbbji， ， .jixcxcij xcijmyaANiiii ,)(21, ,xi*aj 1*2 )(1)(*2 yxayaxNm -00-00jiji 1011212 aaabccbBmjjjii10221012EED 1201021010102 aEaEBDS 20002attKTTe 3120102124Et题 9 图 题 10 图10、如图所示，设桁架杆的长度为，截面积为 A，材料弹性模量为 E，单元的位移函数为 u(x)=1 2x，导出其单元刚度矩阵。答：1 点： x=0 u=u12 点： x=l u=u2lu212lu121lxNl lxllul21 211; 令 211udxeeBllxd1e eeSlEEK e=VBTDBdvD -为弹性矩阵(对于一维问题,为 E)220e1KlEAldxll11、如图为一悬臂梁，其厚度为 1m，长度为 2 m，高度为 1 m，弹性模量为E，泊松比为 1/3，在自由端面上作用有均匀载荷，合力为 F，若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令 0，试求整体刚度矩阵。解：离散为两个单元求各节点位移,假设 t 很小,则该问题为平面应力问题：一、单元编号、节点坐标单元号节点号 i 1 2j 2 3m 4 4各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)面积 A=1;二、求单元刚度矩阵（）对单元 (i=1,j=2,m=4)由 ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2由 r,s = i,j,m srsrsrsrrs bcbcAEtk 2121)1(42 令 得:39)(2ttP3741k 31212Pk 43214Pk1221Pk 02k 024k4341k 0324Pk 434Pk 4032413203214742411Pk（） 、对单元 (i=2,j=3,m=4)同理求得：b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4=0求得： 4032Pk 43223Pk 03224Pk3173k 134k 14k可得单元的单元刚度矩阵： 3103201342723003434222kPk三、整理刚度矩阵将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵 3103204327130 242340123071 423342PK四、单元等效节点力和整体等效节点载荷单元不受分布力作用R = 0 单元有分布力 F/t 作用，利用tdsqNRlT dsFNtdsLTLT0jLmiji 00ij 边上 Lm = 0 dsFLjRL Tiji0 FTji0由 得ldsLji )!1( 2121dsLdsiLiTR002将两个单元的等效节点力以对号