大学概率论与数理统计复习资料

第一章 随机事件及其概率知识点：概率的性质 事件运算 古典概率事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式常用公式 )()()()()()2 加 法 定 理ABPAPBAP,(2111 有 限 可 加 性两 两 互 斥设 nniinii ),(0)( )()( 互 不 相 容 时独 立 时与 BAABPBPA)()()5 P )()( 时当 APBA )0(,( ()/)()6211 inni ii APAABP 且的 一 个 划 分为其 中 全 概 率 公 式 ),()()( 2111 相 互 独 立 时nni inii AAPAP )/()(/)()4 BP)(/)(/3(B )()/()(/)/()71 逆 概 率 公 式ni iiiii ABPBAP)/1 SLr应用举例1、已知事件 满足 ，且 ，则 （ ,AB)()(BAP6.0)()(BP） 。2、已知事件 相互独立， ，则, ,)(k.)(,2.)(A（ ） 。k3、已知事件 互不相容， （ ,AB,3.0)(AP)(,5.)(BPB则） 。4、若 （ ） 。,3.0)(P )(,5.)(,4.0)( 5、 是三个随机事件， ，事件 与 的关系,ABCCBACB是（ ） 。6、5 张数字卡片上分别写着 1，2，3，4，5，从中任取 3张，排成 3 位数，则排成 3 位奇数的概率是（ ） 。7、某人下午 5:00 下班。他所积累的资料表明：到家时间 5:305:40 5:405:50 5:506:00 6:00 以后乘地铁 0.3 0.4 0.2 0.1乘汽车 0.2 0.3 0.4 0.1某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。（1）试求他在 5:405:50 到家的概率；（2）结果他是 5:47 到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设 =他是乘地铁回家的， =他是乘汽车回家1A2A的， =第 段时间到家的 ， 分别对应时间段iBi 4,31i5:305:40，5:405:50，5:506:00，6:00 以后则由全概率公式有 )|()|()( 221212 ABPAP由上表可知 ， ，4.0|B3.0|5.0)(21AP5.3.5)2P（2）由贝叶斯公式7.0)()|(2121A8、盒中 12 个新乒乓球，每次比赛从中任取 3 个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到 3 个新球的概率。看作业习题 1: 4, 9, 11, 15, 16 第二章 随机变量及其分布知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布重要内容 )()()(1 2121 xFxxxF 单 调 递 增 ， 即）（ 1)(lim)( 0li2 xFFxx）（ )()0()(3 xF右 连 续 ， 即）（ RxxF10)4( ）（1iip2分布律的性质 .)2,(,0ii1.分布函数的性质（1）非负性（2）规范性3.分布密度函数的性质 ）（ Rxxf 0)(4. 概率计算5.常用分布1)(df（1）非负性 （2）规范性 1221()()()PxXxPXxPXx)()(aFa0aaa21)()(21xxdxfXxP 0)()()( aFaaXPafa)()(dxf)()(为 连 续 型 随 机 变 量 ：二项分布: %73.91)(23| 452.681| XP）（或泊 松 分 布 PXX)( )0,.;10(,!)( kekPk ),(, pnbXpnBX） 或（记 为 ,.10(,)( kqCkPkn条 件 ： 较 大 且 很 小泊 松 定 理 )(,!)1( npekpCknkn ， 其 他均 匀 分 布 0,1)( ),(bxabxf UX， 其 他指 数 分 布 0)0(,)( )xexf EX),(,21)( ),(2)(2xexf NXx正 态 分 布 5.0)()1应用举例1、设 是某随机变量的密度函数，则 （ ） 。2()(0)xfke k2、设随机变量 的概率密度为 ，则X )2(,cos21)( xxf（ ） 。)01(P3、设随机变量 的分布函数为 则.,1,ln1,0)(exxF=（ ） 。)2(XP4、设 ,满足 的参数 （ ） 。 )(2N)()1(XP5、离散型随机变量 的分布律为 ，则X(1,23)!kc=（ ） 。c6、土地粮食亩产量（单位：kg） .按亩产量高)60,3(2NX低将土地分成等级.若亩产量高于 420kg 为一级，在360420kg 间为二级，在 315360kg 间为三等，低于 315kg为四级.求等级 的概率分布。( , ,Y5.0)(8413.)()734.0)5(xxF)( )(1)()2(73.93| %45.2| 27.681| XP解315460422XY7、110 在长度为 的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的t次数 服从参数为 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.X21求某一天中午 12 时至下午 3 时至少收到 1 次呼救的概率。解 的分布律为 X ),20(!)2)( ktekXP中午 12 时到下午 3 时，表明 求 3t1(XP8、一批产品由 8 件正品、2 件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数 的分布律。X解 所有可能的取值为 1,2,3X=第 次取到正品 （ ）iAi 3,21i看作业习题 2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28第三章 多维随机变量及其分布知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布）随机变量的独立性 二维常用分布内容提要1.概率分布的性质2.二维概率计算,21,0jipij离 散 型 非 负 性 1ijij归 一 性 1),(dxyf连 续 型 归 一 性(,)(,)GPXYfxyd3.边际密度函数计算4.常用分布二维正态分布5.随机变量的独立性6.正态分布的可加性;),()(dyxfxfX dxyfyfY ),()()()(),( yFxyxFYX),21,( jippjiij )()(),( yfxfyxf YX212 212 11(,)(1,2), ,(,)i iinnnniiiNinN 设且 相 互 独 立 则其 他 ），（），（均 匀 分 布 01DyxAyxf ),(),( 221 NYNX ),(),( 211 Y应用举例1、设 的密度函数 则 =（ ） 。YX, 其 他,0,2yxkeyxfyk2、设离散型随机变量 的联合分布律为(,)XY(,)(1,2)3,123/69/8P且 相互独立，则（ ） 。YX,3、某箱中有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10 件，现从中随机的抽