机械工程控制基础修订本陈康宁习题解答

1第 1 章 拉普拉斯变换的数学方法 复习思考题1. 拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：（1）线性性质：若有常数 K1，K 2，函数 f1(t)，f 2(t)，且 Lf1(t)=F1(s)，Lf 2(t)=F2(s)，则* 121212()() )ftftLftftKsMERGEFORMAT (2-2)（2）微分定理：若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则* MERGEFORMAT (2-3)0ftff(0)为 t=0 时的 f(t)值。此定理需考虑在 t0 处是否有断点。如果在 t0 处有断点，f(0 )f(0 )，则该定理需修改成 ()()LftsFf 0f(0 )为由正向使 t0 时的 f(t)值；f(0 )为由负向使 t0 时的 f(t)值；进而可推出 f(t)的各阶导数的拉氏变换：* 2() 12(2)(1)()()00nnnnnnLftsFfLftsffff MERGEFORMAT (2-4)式中 f (i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t=0 时的取值。如果在 t0 处有断点，f(0 )f(0 )，则该定理需修改成2() 12(2)(1)()0)00nnnnnnLtsFffLftsFffff 22() 12(2)(1)()()000nnnnnnLftsFffLftsFffff 式中 f (i)(0 )（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从正向趋近于零时的取值。 f (i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即 (1)()0“()0nfff则有 2()()“()nnLftsFfts（3）积分定理若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则* MERGEFORMAT (2-5)(1)()d0FsLftf是对不定积分的拉普拉斯变换。式中 ，是在 t = 0 时的值。(1)0dt如果 f(t)在 t0 处包含一个脉冲函数，则 ，此时，必须将上述(1)(1)ff定理修正如下： (1)()()d0FsLftf()ftfs式中 ，是在 t = 0 时的值； ，是在 t = 0时的值。(1)0dt (1)0()dfft对于定积分的拉普拉斯变换，如果 f(t)是指数级的，则上述定理修改如下：0()()dtFsLf如果 f(t)在 t0 处包含一个脉冲函数，则 ，此时00()d()ttff0()dtLfts0()t ftLf3依此类推 2(1)(2)21()d()0LftFsffs ()()()1100n nnnft fffs 如果 ，该定理也要修正成00()d()tt(1)(2)()1011 1()0dn nnnknktLftFsfffsst （4）时域的位移定理若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，对任一正实数 a，有* MERGEFORMAT (2-6)()()sLfteFAf(t a)为延迟时间 a 的函数 f(t)，当 ta 时，f( t)0。（5）复域位移定理f(t)的拉氏变换为 F(s)。对任一常数 a（实数或复数） ，有* MERGEFORMAT (2-7)()tLefFs（6）初值定理若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)的初值为* MERGEFORMAT (2-8)0()lim()litsff即原函数 f(t)在自变量 t 趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数 F(s)的自变量 s 趋于无穷大时 sF(s)的极限值。（7）终值定理若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含 j轴的右半 s 平面内是解析的（这意味着当 t 时 f(t)趋于一个确定的值） ，则函数 f(t)的的终值为* MERGEFORMAT (2-9)0lim()li()tsfF（8）卷积定理若 ，()()FsLft)()GsLgt则有* MERGEFORMAT (2-10)0()d()tfFsG4式中，积分 ，称作 f(t)和 g(t)的卷积。0()d()tfgftg2. 用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答：（1）F(s )无重极点的情况F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：* MERGEFORMAT (2-12() nKKBsFApssp11)式中 K1、K 2、 、K n 为待定系数（系数 Ki 为常数，称作极点 sp i 上的留数） 。11()spBA22()sps* MERGEFORMAT ()()(1,)iii ispBBKinAA(2-12)式中 pi 为 A(s)0 的根， 。d()(iisp求得各系数后，则 F(s)可用部分分式表示* MERGEFORMAT (2-13)1()()nii iBAsp因 1iptiLes从而可求得 F(s)的原函数为* MERGEFORMAT (2-14)11()()()inptiiBftLFseA当 F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于 f(t)是个实函数。若 p1 和 p2 是一对共轭复数极点，那么相应的系数 K1 和 K2 也是共轭复数，只要求出 K1 或 K2 中的一个值，另一值即可得。（2）F(s )有重极点的情况假设 F(s)有 r 个重极点 p1，其余极点均不相同，则51112 12()()()()rnrn nrrrrBsBsFAappKKKsssspsp 式中 K11、K 12、K 1r 的求法如下：* MERGEFORMAT (2-11111221311()d)(!d()()!rsprsprsprrr spFsKFs15)其余系数 Kr 1、K r 2、 、K n 的求法与第一种情况所述的方法相同，即()() 1,2,)jj jspjBFsrAn 求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为 112112()!()! nrr ptptptptrrrftLsttKeKee 3. 用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习 题（1） ()51cos3)ftt解：利用拉氏变化的线性叠加特性 22545()()()s3(9)sFsLfttLt（2） 0.5cos1te解法 1：利用 cos10t 的拉氏变换结果和复数域位移定理0.5220.50.5()()s()11t ssFsLft解法 2：直接按定义并与 cost的拉氏变换进行比较60.5 (0.5)022()()cos1dcos1d. 5tst stFsLftete解法 3：直接按定义求解 0.5 10(0.5)(.1)(0.51)(0.51)(0.51) 00()cosd(d22.tstjtjtstsjt sjtsjtsjtFsLfteeeesjs 220.5.()115jss解法 4：直接套用教材表 2-1 中第 14 项结果0.522.()()cos1(05)0tFsLftes（3） （用和角公式展开）sin)3ftt解法 1：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性 13()si5)sicos5insi5cos32ftttttt所以 2235(in22()sFLfttLt 解法 2：直接利用定义求解，令 ，则有()sin5)si5()31fttt15t（1）()150 1515151500nsinsi()i()si()sstss s sFLf ededee e 而 （2）20in()sd7（3）5 (5)(5)151 1100 005515(5)(5)11 200 0sin() ddd22 )2sin1sjjssj sjsjjjjsjsjsedeeeeej jsejj 15 152001522cosinco53ss je 将（3）式和（2）式代入（1）得 235()()sFsLft【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4） ()natfte解法 1： ，利用复域平移特性得1!,23nLs 1!() ,23()natnFLes解法 2：()000ddatatatssatLe s利用复域微分特性 得()()11,23nnFtfs 1d!()() ,23()nnat naFsLes 解法 3：直接按定义并与 tn 的拉氏变换进行比较()100!()()dd,)natssatnFsLft 解法 4：直接按定义求解8() ()000()() ()1001() 10 1dddddnatnatsnsat nsatst sat stnnsat ntLeeeeteLes 得到递推关系如下： 11210 2111()nat natt tat at atLeLesLeLLsssas所以 1!()natn解法 5：直接套用教材表 2-1 中第 9 项结果1!()natnLes（1） 3)2tftte解：设 t0 时，f(t)0利用拉氏变换的线性特性 3324432 13!1()()261854()tFsLfttLessss（2） 33()coin(0)tttfteet解：利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性 3 34227654328()()cossin!1)()169875493509018012tt tFsLftLesssss s（3） 2()51)(tfttte9解：设 t0 时，f(t)0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性 222223()()51()(1)5()()ttt tsFsLftLetees【注】本题不可对第二项(t1) 2e2t 采用如下方法：因为 ，利用时域位移定理得 ，再利用复域平移定理得23Lts23(1)sLte。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移2(2)3(1)tte定理时，将(t 1)2 的定义域变成了 ，而原题中(t 1)2 的定义域为2(1)0tf。换句话说，这里 (t1)2 并不是 t2 的延时函数。1)0)ttf（4） sin(),tftt解法 1： ，如图 2-2 所示。i()1tA所以 222()sini()1sFsLftLtee 2 3 4 5 6-1-0.500.51tf(t)图题 2-2sin(t) sin(t)1( t)解法 2：直接按定义求解。10000()() () ()00 00() ()1()dsindd211122(1()2(2)st st jtjtstjst jst jst jstjs jsjsFsLffeeeejjeejjsjjs 2 2222 )()()11sincos()11jjjj