矩阵的逆的研究及应用

1矩阵的逆的研究及应用摘要本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。关键词：矩阵 矩阵的逆 线性方程组 保密通信Research and application of inverse matrixSummary: This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure communication.2一 矩阵的逆的一些背景在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。而矩阵的逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一。然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大的用处。为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。二 矩阵的逆的定义、定理及性质21 矩阵的逆的定义利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组(1)121212nnnaxaxb令3121212nnnaaA 12nxX12nbB则方程组可写成 。XB方程 是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中 称为方程组的系A数矩阵， 称为 未知矩阵， 称为常数项矩阵。这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵 的问题。类似于一元一次X方程 的解可以写成 ，矩阵方程 的解是否也可以表示为0axb1xabB的形式？如果可以，则 可求出，但 的含义和存在的条件是什么呢？下面1XAB X1A来讨论这些问题。定义 1 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得nAnB（2）AE这里 是 级单位矩阵。E首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2） ；其次，对于任意的矩阵 ，适合等式（2）的矩阵 是唯一的（如果有的话） 。事实上，假设 是两个AB12,B适合（2）的矩阵，就有 112122EABE定义 2 如果矩阵 适合（2） ，那么 就称为 的逆矩阵，记为 。B1A定义 3 设 是矩阵ijA121212nnnaaA中元素 的代数余子式，矩阵ija1212*12nnnA4称为 的伴随矩阵。A由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：（3）*0=ddE其中 dA如果 ，那么由（3）得0（4）*1AEd2.2 矩阵的逆的定理和性质定理 1 矩阵 是可逆的充分必要条件是 非退化，而AA1*0d证明：当 ，由（4）可知 可逆，且0d1*Ad（5）反过来，如果 可逆，那么有 使 ，两边取行列式，得A1E1（6）因而 ,即 非退化。0A由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下：1、 2、设 是 级矩阵，则 可逆的充要条件是存在 级矩阵 ，使AnAnBAE3、 14、设 和 都是 级矩阵且可逆，则 也可逆，且BB1155、若 ， 可逆，则 也可逆，且0kAk11kA6、如果 可逆，则 也可逆，且T TT7、如果 可逆，则 也可逆，且*1*定理 2 是一个 矩阵，如果 是 可逆矩阵， 是 可逆矩阵，那么AsnPsQn=PQ秩 秩 秩证明：令 ，则BBA秩 秩但是由 1P又有 AB秩 秩所以 =P秩 秩 秩另一个等式可以同样地证明。三 矩阵的逆的求法3.1 定义法例 1.设方阵 满足方程 ，证明： 都可逆，并求它们的A2310AE,4AE逆矩阵。证明：由 ，得到 。2310310故 可逆，而且 。A3AE又由 ，得到 ，即 。231046E14AE6故 可逆，而且 。4AE146AE3.2 公式法定理 3 阶方阵 可逆的充分必要条件是 非奇异矩阵，而且 nA.21121*12nnnA例 2.已知 ，求0235解：由题可解得 40A所以 可逆，且A*1206故 *152013A经检验 1E3.3 初等变换法定义 4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换：(1)交换矩阵的某两行(列);(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)上，即用某一个数乘矩阵某一7行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。定义 5 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。E(1)初等行变换如果 阶方阵 可逆，作一个 的矩阵 ，然后对此矩阵进行初等行变换，nA2n,AE使矩阵 化为单位矩阵 ，则同时 就化为 了，即 经过初等行变换变为E1,。1,E例 用初等行变换求矩阵 的逆矩阵。120A解： 10110,2-2-03011-32-21AE 所以。1031=-2-A(2)初等列变换如果 阶方阵 可逆，作一个 的矩阵 ，然后对此矩阵进行初等列变换，n2nE使矩阵 化为单位矩阵 ，则同时 就化为 了，即 经过初等行变换变为 。AE1A -1EA例 用初等列变换求矩阵 的逆矩阵。201解：81102032110013201032AE 所以 1031=-2-A3.4 分块矩阵法分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式 11 12 21S SAAA 112 21SSA 其中 均为可逆矩阵。1,2iAs例：已知 ，求051=-1A解：将 分块如下：A91205=1-20OAA 其中 125-=A，而 -1*-1*1221,=5det det3AA从而 1-12013=205OA 四 矩阵的逆的应用无论是矩阵的逆的性质还是矩阵的逆的求法，都是数学领域中的一个研究方向。接下来我们将分析矩阵的逆的应用，探索矩阵的逆的巨大作用。4.1 在解线性方程组的应用求解线性方程组是数学中的一大热点，也是难点。给定方程组(7)121212nnnaxaxb10把给定的线性方程组的系数按 行 列排成数表，称为 矩阵，记作：nn121212nnnaaA为了利用矩阵乘积的性质，我们把线性方程组 式中的系数项、变量项、常数7项以矩阵的形式表示出来：121212nnnaaA 12nxX12nbB矩阵方程 在形式上与最简单的代数方程 非常类似，分析代数方程XBaxb的求解过程，对于求解矩阵方程会有很大的帮助。axb当 时，存在着 的倒数 ，以 乘方程0a11a也 可 以 叫 做 的 逆 元 素 1a的两端。由于 ，所以得到方程的解： 。x11xb如果对 阶方阵 也定义它的逆方阵 ，使之满足 ，那么