3_8064937_7.三次函数对称与切线性质

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 697 中国 高考数学母题 (第 197 号 ) 三次函数 对称 与切线性质 三次函数是现在高 考 中最 简 单 ,也 最重要的 模型 函数 ,在高 高 考 中占有非常重要的地位 ,它的 常规的 单调性、 极 最值问题、 最值问题、 零点问题 等 是高考的热点和重点 ,它的 非常规的对称 、切线 及其相关 问题 等则 是 高考的 难 点 . 母题结构 :三次函数 f(x)=cx+d(a 0), f(x)的 对称中心 (f(; 若 f(x)上有两点的导 数值相等 ,则此两点的 中点为 对称中心 ,特别地 ,对称中心是两个极值点的中点 ; 过 f(x)的 对称中心 只能作一条切线 ,且切线穿过f(x)的图像 ;过 除对称中心外的任意一点 P(x0,f(可作两条切线 ,且 在 点 f(x)交 于 点 Q(f(,另一 条切线 与 f(x)相切于 点 R(f(. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2007 年 湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=311区间 ),(1,3内各有一个极值点 . ( )求 ( )当 时 ,设函数 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线为 l,若在点 y=f(x)的图象(即动 点在点 A 附近沿曲线 y=f(x)运动 ,经过点 A 时 ,从 l 的一侧进入另一侧 ),求函数 f(x)的表达式 . 解析 :( )由 函数 f(x)=311),(1,3内各有一个极值点 f (x)=x2+ax+),(1,3内各有 一个零 点 ;设 ),(1,3,则 2 2 =3-(4 最大值 =16; ( )由 , a=-2,b=f(x)=31点评 :对曲线 C:y=f(x)=cx+d(a 0)在点 T(f(处的切线穿过曲线 C 有统一证明 :由曲线 C 在点 y=f (x+f(令 g(x)=f(x)(x+f(则 g (x)=f (x)(x+ (3ax+b)=3a(x+ g(x)单调 g(x)在 x= 曲线 处的切线穿过曲线 C. 同 类 试题 : 1.(2009 年 福建 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=31x3+ f (0.( )试用含 a 的代数式表示 b; ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )令 a=函数 f(x)在 x2(数 g(x)=|f(x)|,求证 :g(x)在区间 上的最大值 不小于41. 698 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 解 析 :( )由 f (x)=3 当 a 0时 ,f(x)的单调增区间为 (- ,+ ); 当 a0时 ,f(x)的单调递减区间为 (33a),单调递增区间为 (- , (33a,+ ); ( )由 f(x)存在极值点 a0,且 a f(32 f(f(f(且 ( )知 ,存在唯一 f(f( 2; ( )设 g(x)在区间 上的最大值为 M,则 M |f(1)|=|a+M |f(=| 2M |a+| |(a+b (=2|当 |41, 即 00,函数 g(x)=|f(x)|,求证 :g(x)在区间 0,2上的最大值 不小于41. (2010 年 福建 高考 理科 试题 )( )已知函数 f(x)=图像记为曲线 C.(i)求函数 f(x)的单调区间 ; (明 :若对于任意非零实数 线 1(处的切线交于另一点 P2(,曲线 2(P(处的切线交于另一点 P3(,线段 2 所围成封闭图形的面积分别记为 2,则21定值 ; ( )对于一般的三次函数 g(x)=cx+d(a 0),请写出类似于 ( )(正确命题 ,并予以证明 . 子题类型 : (2014 年 北京 高考试题 )已知函数 f(x)=2 )求 f(x)在区间 上的最大值 ; ( )若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 ,求 t 的取值范围 ; ( )问过点 A(),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？ (只需写出结论 ). 解析 :( )f(x)在区间 上的最大值 =f( 2 ; 由 曲线 y=f(x)在点 M(t,f(t)处的切线方程 :t)=f (t)(即 y=3(2果 切线过点 P(a,b),则 b=3(21)4a+b=0;记 g(t)=4a+b,则 g (t)=122t( g(t)的 极大值 =g(0)=3a+b,g(t)的极小值 =g(a)=a+b=a);所以 , 过点 P(a,b)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 1 个实数根 g(t)的 极大值 0 3a+bf(a); 过点 P(a,b)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 2 个实数根 g(t)的 极大值 =0,或 g(t)的 极小值 =0 3a+b=0 或 a)=0 b= b=f(a); 过点 P(a,b)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 3 个实数根 g(t)的 极大值 0,或 g(t)的 极小值 0 或 a)0,如果过点 (a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线 ,证明 :线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的 切线方程为 y=1. ( )确定 b、 c 的值 ; ( )设曲线 y=f(x)在点 (x1,f(及 (x2,f(处的切线都过点 (0,2),证明 :当 f ( f ( ( )若过点 (0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线 ,求 a 的取值范围 . 7.(2006 年 广东 高考试题 )设函数 f(x)=x+2 分别在 大值 面上点 A、 B 的坐标分别为(x1,f(、 (x2,f(,该平面上动点 P 满足 4,点 Q 是点 P 关于直线 y=2(对称点 ( )求点 A、 B 的坐标 ; ( )求动点 Q 的轨迹方程 . 8.(2009 年 福建 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=31x3+ f (0.( )试用含 a 的代数式表示 b,并求 f(x)的单调区间 ; ( )令 a=函数 f(x)在 x1,x2( ,f(x)的单调 递增 区间 为 (- ,1 ( ),单调 递减 区间 为 (11); ( )当 a= ,f (x)=(x+1)( M(5),N(3, 中点是 f(x)的 对称中心 T(1,311). ( )当 a 1 时 ,f(x)在区间 (- ,+ )单调 递增 ;当 f(x)的单调递减区间为 (1+33a),单调递增区间为 (- ,1 (1+33a,+ ); ( )由 f(x)存在极值点 a0,且 (=3a f(f(3 3 ( )知 ,存在唯一 f(f( ;( )略 . ( )(i)由 f(x)=f (x)=3f(x)的 递增区间为 (- , (33,+ ),递减区间为 (3); ( 曲线 1(处的切线 :y=(3 y=(3 3(x+ 20 2 112 31213 )23(xx 27理可 得 :27642761161 为定值 ; 700 备战高考 数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )记函数 y=g(x)的图象为曲线 G,类似于 ( )(命题 :对任意 线 1(处的切线交于另一点 P2(,曲线 2(处的切线交于另一点 P3(,线段 2所围成封闭图形的面积分别记为 2,则21定 值 ;证明如下 :因为平移变换不改变面积的大小 ,故可将曲线 y=g(x)的对称中心 (g(平移至坐标原点 ,因而不妨设 g(x)=hx(x 0)类似 ( )(计算可得21161 为定值 . ( )由 f (x)=3切线方程 :t)=f (t)(即 y=(3( )如果 切线过点 (a,b),则 b=(32a+b=0;记 g(t)=2a+b,则 g (t)=6t( g(t)的 极大值 =g(0)=a+b,g(t)的 极小值 =g(a)=a+b=a);所 以 ,过点 (a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线 2a+b =0 有三个相异的实数根 g(t)的 极大值 0,且 g(t)的 极小值 0,且 a)23 . ( )由 f(x)=x+2 f (x)= A(),B(1,4),拐点 M(0,2); ( )由 |-|= 点 P 的轨迹 :=9 是圆心为 M(0,2),由 直线 l:y=2( x 轴交于点 N(4,0) 21 直线 l 点 l 的对称点 T(8, 点 Q 的轨迹方程 :(+(y+2)2=9. ( )由 f (0 b=2f (x)=x+1)(x+2当 a=1 时 ,f(x)的单调 递增 区间 为 (- ,+ ); 当 f(x)的单调 递增 区间为 (- ,1 ( ),单调 递减 区间