3_8064974_5.参数方程.抛物线试题的统一解

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 587 中国 高考数学母题 (第 171 号 ) 参数方程 利用抛物线的参数方程 ,可 把抛物线上任意一点 P 的坐标 ,用只含一个参数 t 表示 ,这为形成解决抛物线试题的统一程 序化方法提供了有力的手段 . 母题结构 :(参数方程 ):抛物线 px(p0) 22(参数 t R);当 t 0时 ,参数 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 . 母题 解 析 :如图 ,设 M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点 ,直线 则 y=联立 :x=2y= t= px(p0) 22;同理可得 : 222 数 t R);利用抛物线参数方程 ,可统一解决抛物线试题 ,其程序是 :利用参数方程 ,巧设抛物线 一点的坐标 ; 利用 A、 P、B 三 点共线 转化三点共线的条件或结论 ; 利用 点的坐标 思想 ,解决问题 . 子题类型 :(2013 年陕西 高考试题 )己知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 长为 8. ( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )已知点 B(),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P、 Q.若 x 轴是 角平分线 ,证明 :直线 解析 :( )如图 ,设动圆的圆心 O1(x,y),由 |作 H,则 N 的中点 |=|+|=6,又 |=(+(+y2=6 x 轨迹 C:x; ( )设 P(2a),Q(2b),则 (a+b 0) 直线 PQ:(即 :(a+b)x; 由 x 轴是 角平分线 1242242 (2)(a+b)=0 直线 a+b)y+2=2x 过定点 (1,0). 点评 :利用参数方程 ,巧设抛物线一点的坐标 :观察系数 ,先巧设抛物线方程中有平方项的变量 ;代入抛物线方程中 ,求另一变量 ,即得点的坐标 . 同 类 试题 : 1.(2016年 高考 全国 乙 卷 试题 )在直角坐标系 直线 l:y=t(t0) 交 ,交抛物线 C:px(p0)于点 P,的对称点为 N,连结 于点 H.( )求| | )除 直线 是否有其它公共点？说明理由 . 2.(2011 年安徽高考试题 )设 0,点 A 的坐标为 (1,1),点 B 在抛物线 y=点 Q 满足 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 . 子题类型 :(2016 年 高考 全国 丙 卷 试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,平行于 x 轴 的两条直线 l1, 于 A,B 两点 ,交 C 的准线于 P,Q 两点 . ( )若 F 在线段 ,R 是 中点 ,证明 :( )若 面积是 面积的两倍 ,求 点的轨迹方程 . 解析 :( )设 A(2a),B(2b),则 P(a),Q(b) R(a+b),由 F(21,0) (2a), (2b);由 F 在线段 (2(2a:b 41 2b=x,y) 588 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )由 S S 21|,S S 4=21;设 (x,y),则 x=a2+b2,y=a+b y2=ab=点 T 的轨迹方程 :y2=点评 :对于 抛物线上两点 A,B 与点 P 共线 :设出点 A,B 的坐标 ; 用 A、 P、 B 三点共线 把 A、 P、 B 三点共线 ,转化为坐标中的系 数关系 ,从而为解决过一点 的直线与曲线交于两点的问题提供了有力手段 . 同 类 试题 : 3.(2016年 浙江 高考 试题 )如图 ,设抛物线 px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A到 |1.( )求 p 的值 ; ( )若直线 抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 直的直线交于点 N, x 轴交于点 的横坐标的取值范围 . 4.(2011年 江 西 高考试题 )已知过抛物线 px(p0)的焦点 ,斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A(x1,B(x2,对称轴上一点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于 M、 N 两点 ,自 M、 N 向直线 l:x=垂线 ,垂足分别为 )当 a=2求证 :( )记 1、 否存在 ,使得对任意的 a0,都有 若存在 ,求出 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 6.(2014年山东高考试题 )已知抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,上异于原点的任意一点 ,过点 ,交 x 轴的正半轴于点 D,且有 |当点 A 的横坐标为 3 时 , 正三角形 . ( )求 C 的方程 ; ( )若直线 l,且 有且只有一个公共点 E,(i)证明 :直线 定点 ,并求出定点坐标 ;( 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 7.(1993 年 上海 高考试题 )抛物线 y=(0,直线 、 B 两点 ,O 为坐标原点 . 若直线 B 的斜率之和为 1,求直线 l 的方程 . 8.(2005 年 江西 高考试题 )如图 ,M 是抛物线上 y2=x 上的一点 ,动弦 别交 x 轴于 A、 B 两点 , 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 589 且 B.( )若 证明 :直线 ( )若 且 00,求 的轨迹方程 . 9.(2009 年全 国高中数学联赛 河南 初赛 试题 )已知抛物线 C:x,以 M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 )求证 :直线 定点 ; ( )过点 B 的垂线交 点 N,求点 N 的轨迹方程 . 10.(2004 年 湖南 高考试题 )如图 ,过抛物线 y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线 交于 A,B 两点 ,点 Q 是点 P 关于原点的对称点 . ( )设点 P 分有向线段 成的比为 ,证明 : ( ; ( )设直线 方程是 2=0,过 A、 B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线 ,求圆 C 的方程 . 11.(2001 年 安徽春招 试题 )已知抛物线 px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线 交于不同的两点 A、 B,| 2p.() 求 a 的取值范围 ; () 若线段 垂直平分线交 x 轴于点 N,求 积的最大值 . 12.(2007年武汉 大学 保送生考试 试题 )如图 ,过抛物线 C:(2,4)作倾斜率互补的两条 直 线 ,分别与抛物线交于 A、 ( )求直线 斜率 ; ( )如果 A、 B 两点均在 x(y 0)上 ,求 积 的最大值 . ( )由 M(0,t),P(t) N(t) 直线 ON:y=tp x,联立 H(2t) N 是 中点 | |2; ( )直线 MH:立 直线 . 设 B(b,P(x,y),则 :M(x,由 Q(x,;由 B(1+ )(1+ )2+ ) (1+ )b,(1+ )21+ )(1+ )21+ )=(1+ )2 2. ( )由 |2p=|1 p=2; ( )设 A(a),B(b),M(m,0),由 F(1,0) (a),(b);由 1;由 直线 FN:y=又 直线 BN:y=2b N(ba 3,2b) (ba 3b), (a);由 m=1222+122a (- ,0) (2,+ ). ( )设 A(2B(2|a|0,都有 证明如下 :设 M(2N(2则 a,2a,2 (2(2由 (22222a;由 2a)2=a (22pa(2a)p|n| 2a)(2a)n|=(2+2pa(m2+a2p|a2+pa(m2+a2+pa(+2pa= ( )由 2|33+2p p=2 抛物线 C:x;( )(i)设 A(a),E(t),则 直线 l1:ty=x+ l 直线l:t1( D();由 | 22 直线 AE:(点 F(1,0);( 590 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 由 直线 l:=入 )=0 | 21 t 4 222 由 点 d=22212 面积 S=21 |AB|d=2 222 t2+);由 t2+ S 的最小值 =16. 设点 A(2a,B(2b,则 (a+b) 直线 AB:y+2(a+b)(由 直线 (0, 21;由 直线 B 的斜率之和为 1 a+b=2a=1 直线 l:y=( )设 M(x0,直线 EF:k(m(m 0),则 1=m ()( 00 ;由 y2=x (-(2y0(0 (y- -(m ()( 00 +2y0(m ()( 00 =0 (m+200 )2-(2)00 +k=0;由 B 0 2=0 k=定值 ; ( )设 G(x,y),M(t2,t),E(F(由 00 (y1+t)(y2+t)+1=0;由2221 21 yy = y1+2t x=31(t2+31(3),y=31(t+y1+G 的轨迹方程 :x=92(y 0). ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:m(n(1;由 x (=0 ()m(n(=0 (4n+1)(12-4(12 144 1 4 直线 AB:m(+n(1过定点 P(5,( )由 ( )知 ,点 除去点 (1, 2),其方程为 (+(x 1). ( )设 A(2a,B(2b,由 点 关于原点的对称点 Q(0, (0,2m);又由点 B 所成的比为 a= b,且 ( a2=m+ (且 m=- b=以 , (2a,a2+m)2b, b2+m)=(0,(a2+m)b2+m) =2m(a2+m)b2+m)=0 ( ; ( )由直线 AB:2=0与 y 点 A(6,9)、 B() 2(由 y y =21x y |x=6=3 过 点 A 且与 抛物线在点 A 处的切线 垂直的 直线 :31(与 2(合得圆心 C(23) 圆 C 的 半经=2125 圆 C:(x+23)2+(=2125. () 设 A(2B(2则 (2p(2p(,(2由 2a;由 t+b=1;由 | 2p