3_8064973_7.面积公式.向量背景下的表达式

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 595 中国 高考数学母题 (第 173 号 ) 面积公式 景下的表达式 三角形 的 面积 公式有多 种形式 ,其中 ,以 两边所在向量 的 坐标 表示的 向量 解析 式 和 以 两边所在向量 的 数积 及其夹角 的正切值表示的 向量正切式 ,在解析几何中大有用场 ,而 向量正切式 在 解 决圆 锥 曲线 与角相关的问题中 ,具有独特功能 . 母题结构 :( )(向量 解析 式 )在 ,若 (x1,(x2,求证 : 面积 S 1| ( )(向量正切式 )在 ,若 内角 A2,则 面积 1 AC 2. 母题 解 析 :( ) S 1|1 22 |=21 222 )co s|(| =21 222 )(| 21 2212122222121 )()( =21 2121 )( =21|特别地 ,若 A(x1,B(x2,则 S 1| 由此 还 可 得 :在 四边形 ,若对角线向量 (x1,(x2,则 四边形 面积 S=21| ( )当 A2时 ,1| |1| |1 AC 2. 子题类型 :(2014 年福建 高考试题 )已知双曲线 E:22(a0,b0)的两条渐近线分 别为 l1:y=2x,l2:y= )求双曲线 E 的离心率 ; ( )如图 ,O 为坐标原点 ,动直线 l 分别交直线 l1,B 两点 (A,B 分别在第一、第四象限 ),且 面积恒为 8,试探究 :是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在 ,求出双曲线 E 的方程 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 :( )由 双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y= 双曲线 E 的离心率 e=221 5 ; ( )由 ( )知 ,双曲线 E:22,即 4 直线 l:x=ty+m,将 x=ty+(40,由 直线 l 与 双曲线 E 只有一个公共点 40,且 =640 4 (4a2+;由 x=ty+m与 y=2x A(122由 x=ty+m 与 y=B(22 S 1|(2212 (=|142228 |4代入 (4a2+ 得 :(4|40 双曲线 E:46. 点评 :利用 1|简单方式是求顶点 A,B,或求向 量 坐标 ;灵活运用抛物线与椭圆的参数方程 ,设点的坐标 ,是利用三角形面积向量式求解有关问题的重要方法 . 同 类 试题 : 1.(2005 年广东高考试题 )在平面直角坐标系 ,抛物线 y= 的两不同点 A、 B 满足 图所示 ).( )求 重心 G(即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程 ; ( ) 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 2.(2013年山东高 考试题 )在平面直角坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为 2,离心率为22. 596 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,B 为椭圆 C 上满足 面积为46的任意两点 ,E 为线段 中点 ,射线 椭圆 ,设 求实数 t 的值 . 子题类型 :(2015 年上海高考 文 科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、D,记 面积为 S.( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=21| ( )设 l1:y=(33,33),S=31,求 ( )设 m,求 m 的值 ,使得无论 面积 S 保持不变 . 解析 :( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 C 到直线 d=2121 2121|=2121 1221|;由 | 2121 S=21 |AB|d=21 |( )将 y=得 A(2211k,221 S=21|33221 33 2211k|=31 3|2 221 k k= ( )设 A(x1,C(x2,则 221122m A(x1,C(x2,椭圆 上 1=(m+4)(=(m+4)(m+4)m+4=0 m=点评 :利用 1|关键是求 A(x1,C(x2,曲线 C: 上两点 ,且 :(ab)ab(=1. 同 类 试题 : 3.(2015 年上海高考 理科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、 D,记得到的平行四边形 面积为 S. ( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=2| ( )设 21,求面积 S 的值 . 4.(2008 年 全国 高 考试题 )设椭圆中心在坐标原点 ,A(2,0)、 B(0,1)是它的两个顶点 ,直线 y=kx(k0)与 交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 .( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 子题类型 :(2002年 课程高考试题 )己知两点 M(),N(1,0),且点 P 公差小于零的等差数列 . ( )点 P 的轨迹是什么曲线？ ( )若点 P 的坐标为 (x0,记为 夹角 ,求 解析 :( )设 点 P(x,y),则 (x+1,y),(y),(2,0) 2(x+1), x2+M 2(1由 公差小于零的等差数列 2(x+1)+2(12(x2+1),且 2(12(x+1)0 点 P 的轨迹是 以原点为圆心 , 3 为半径的右半圆 ; ( )由 点 P(x0, (),且 1|又 1| |21| 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 597 | 21 | 点评 :三角形面积的向量正切公式可用于求角的大小 (证明 两角 相等 ),尤其 ,对求角的正切值有特效 ,其中的关键有二 :一是求三角形的面积 ;二是求三角形两边所在向量的数量积 . 同 类 试题 : 5.(2006 年 浙江 高考试题 )如图 ,椭圆222(ab0)与过点 A(2,0),B(0,1)的直线有且只 有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e=23.( )求椭圆方程 ; ( )设 焦点 ,M 为线段 求证 : (2008 年全 国高中数学联赛 河北 初赛 试题 )设向量 i,j 为直角坐标平面内 x 轴 ,y 轴正方向上的单位向 量 a=(x+2)i+yj,b=(i+ |a|-|b|=2.( )求 满足上述条件的 点 P(x,y)的 轨迹方程 ; ( )设 A(),F(2,0),问是否存在常数 ( 0),使得 成立？证明你的结论 . 7.(2011年山东高考试题 )已 知直线 :32x+22y=1交于 P(x1,Q(x2,不同点 ,且 面积 S26,其中 O 为坐标原点 .( )证明 : ( )设线段 中点为 M,求 |最大值 ; ( )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 SSS26？若存在 ,判断 形状 ;若不存在 ,请说明理由 . 8.(2005 年福建高考试题 )己知方向向量为 v =(1, 3 )的直线 l 过点 (0, )和椭圆 C: 222(ab0)的焦点 ,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线 上 . ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )是否存在过点 E()的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N,满足 3640(O 为原点 ),若存在 ,求直线 m 的方程 ;若不存在 ,请说明理由 . 9.(2005 年 辽 宁 高考试题 )已知椭圆222(ab0)的左、右焦点分别是 c,0)、 F2(c,0),Q 是椭圆外的动点 ,满足 | = 是线段 该椭圆的交点 ,点 T 在线 段 ,并且满足 20,| 2 0.( )设 x 为点 P 的横坐标 ,证明 :| =a+ )求点 T 的轨迹 C 的方程 ; ( )试问 :在点 T 的轨迹 C 上 ,是否存在点 M,使 =存在 ,求 若不存在 ,请说明理由 . 10.(2011 年 湖北 高考试题 )平面内与两定点 a,0)、 A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数的 m 的点的轨迹 ,加上 可以是圆、椭圆、或双曲线 .( )求曲线 C 的方程 ,并讨论 C 的形状与 m 值的关系 ; ( )当 m= ,对应的曲线 为 给定的 m () (0,+ ),对应的曲线为 2的两个焦点 在 ,使得 =|m|若存在 ,求 若不存在 ,请说明理由 . 11.(2005 年江西高考试题 )如图 ,设抛物线 C:y=,动点 P 在直线 l: 上运动 , 过 P 作抛物线 C 的两条切线 与抛物线 C 分别相切于 A、 B 两点 . ( )求 重心 G 的轨迹方程 ; ( )证明 : 12.(2007年全 国高中数学联赛 河南 初赛 试题 )已知抛物线 (0,8),A、 且 0)、 设其交点为 M. ( )证明 :点 ( )是否存在定点 Q,使得无论 都有 明你的结论 . F 1 598 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 13.(2010 年全 国高中数 学联赛 福建 初赛 试题 全国高中数学联赛 甘肃 预赛试 题 )已知双曲线 C:2222=1(a0,b 0)的离心率为 2,过点 P(0,m)(m0)斜率为 1的直线 于 A,且 3 =3.( )求双曲线方程 ; ( )设 Q 双曲线 C 右支上的动点 ,F 为双曲线 C 的右焦点 ,在 x 轴负半轴上是否存在点 M 使得 若存在求 出点 M 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 14.(2012 年全国高中数学联赛试 题 (B 卷 )已知抛物线 px(p0),A、 B 是抛物线上不同于顶点 O 的两个动点 ,记 ( 900) 试求当 m 取得最小值时 ,最大值 . ( )设 G(x,y),直 线 OA:y=入 y=x2=xA=k yA=A(k,由 理可得 B(1k) x= 31(y=31(1k) 9x2=1程 :9 )S=21|k1+k| 1 当 k= 1 时 ,. ( )设椭圆 C:222(ab0),由 2b=2,e=22122 a= 2 ,b=1 椭圆 C:22x+; ( )设 A( 2 ,B( 2 ,0 0) t=2 或332. ( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 d=2121 2121|=2121 1221|;由 |2| 2 2121 S=|AB|d=2|( )设 A(x1,C(x2,则 直线 221122 221 A(x1,C(x2,椭圆 上 1=(2(2( |22 S=2| 2 . ( )由 椭圆 :42x+,直线 AB:x+2y=2 D(122k,122E(k,F(1422k,1422由6122k+1422k=6(1422k)1452k=127k k=32或83; ( )由 (),(1442k,1442 S=2141222 2 ,当 t=2,即 k=21时 ,等号成立 . ( )椭圆 :; ( )由 b=22 T(1,21);又 由 26,0),6,0) M(1+46,0) (1,(46, =(2+26,0), (1+26,21) 2=)16(2 64 =2 26,=2 26 ( )设 2,0),0),则 |a|=|b|=|由 |a|-|b|=2 |2,由 双曲线 定义 知 点 P 的 轨迹 是以2为焦点 ,实轴长为 2 的双曲线右支 点 P 的 轨迹方程 :(x0); 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 599 ( )设 P(x0,1),则 3,(,(3,0),() 2=1|00020)1( x y=1)1(3 00当 2 时 , 2202 )1(3 =002| ;2 =002| AF=2 当 时 , 00,且 50 2 常数 =2,使得 成立 . ( )设 3 2 3 2 0 0)=a+( )由 | =2a |2a,又 |2a |由 20 2 T 为线段 中点 |21 | =a 轨迹 C:x2+y2=( )设点 M(x0,则 1( 2( 1 2 S=c| 当曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 ; )设 (,当 m () (0,+ )时 ,1(m ,0)、 F2(a 1m ,0) 600 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 |2a 1m S=a 1m a|=|m|=1| 当1| 1,即 m (251,0) (0,251)时 ,存在点 N,使得 =|m|时 ,S=21 12 21m| 2; 当 m (251,0)时 ,; 当 m (0,251)时 ,2; 当1| ,即 m (51) (251,+ )时 ,不存在点 N,使得 =|m|( )设 A(a,B(b,P(x0,G(x,y),则 由切 线 ax=y+B:2bx=y+ 2y0+ 2y0+ a,y0+的 两根 a+b=2x0,ab= 点 l:上 a+;