3_8064976_2.弦长公式.解析几何的基本工具

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 575 中国 高考数学母题 (第 168 号 ) 弦长公式 弦长公式 是解析几何的基本 工具 ,弦长 问题是解析几何的基本问题 ,也是高考的热点问题 ;由 两点间的距离 公式可得 弦长公式 :若 A(x1,B(x2,且 k,则 | 21 k |实 质上 ,该式还可进一步简化 ,可有效减少 计算量 . 母题结构 :( )(弦长公式 ):若 直线 相交于 A、 并且直线 联立得 :bx+c=0,则 | 21 k | 42a ,其中 ,k=( )(弦长定理 ):同一二次曲线的两弦 (该点 或动点 )且直线 k1、 |f(则 |f( ( )(特殊四边形面积 )对 角线相互垂直的四边形面积等于两对角长的之积的一半 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2010 年课标高考试题 )设 :222(ab0)的左、 右焦点 ,过 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点 ,且 |等差数列 . ( )求 E 的离心率 ; ( )设点 P(0,足 |求 E 的方程 . 解析 :( )由椭圆定义知 |4a,又 |2| |34a;设 A(x1,B(x2,由直线 l:y=x+ c,代入椭圆方程得 :(a2+b2)a2(0;由 |34a 2 22222ba 34a e=22122; ( )由 x1+2222ba 2 21 = 21 =2 21 c=31c (1c);由 | 1 c=3 a=3 2 ,b=3 椭圆 E:182x+92y=1. 点评 :弦长公式 是解析几何 的基本 工具 ,在 解析几何中 有重要且广泛 的应用 ,是课标高考命题的着力点 ,要牢 固 掌握 . 同 类 试题 : 1.(2008 年全国 高考试题 )双曲线的中心为 原点 O,焦点在 两条渐近线分别为 过右焦点 F 垂直于的直线、 B 两点 、 |、 |成等差数列 ,且 向 . ( )求双曲线的离心率 ; ( )设 双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程 . 2.(2006 年安徽高考试题 )F 为双曲线 C:22(a0,b0)的右焦点 ,P 为双曲线 C 右支上一 点 ,且位于 x 轴上方 ,M 为左准线上一点 ,O 为坐标原点 平行四边形 ,| | ( )写出双曲线 C 的离心率 ( )当 =1 时 ,经过焦点 F 且平行于 直线交双曲线于 A、 B 两点 ,若 |12,求此时的双曲线方程 . 子题类型 :(2008 年安徽高考试题 )己知椭圆 C:222(ab0),其相应于焦点 F(2,0) 的准线方程为 x=4.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )己知过点 2,0)倾斜角为的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点 ,求证 :|24; 576 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )过点 2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A,B 和 D,E,求 |最小值 . 解析 :( )由 焦点 F(2,0) c=2,由 准线 :x=4 椭圆 C:82x+42y=1; ( )将 直线 x+2=入82x+42y=1 得 :(2)4=0 | 222 =24; ( )由 |24 |)90(4 02 =24 |24+24= 22 12=248 2 当 1 时 ,|得 最小值 3216 . 点评 :弦长定理 是解析几何 的基本 定理 ,具有事半功倍的 功能 ,体现了解析几何中的“ 同理可得 ” 的思想方法 . 同 类 试题 : 3.(1996 年全国高考试题 )己知 (- 2 ,0)的两条互相垂直的直线 ,且 各有两个交点 ,分别为 2、 )求 ( )若 | 5 |求 4.(2016年 高考 全国 甲 卷 试题 )已知 :42x+32y=1的左顶点 ,斜率为 k(k0)的直线交 ,点 上 , )当 | ,求 面积 ; ( )当 2| ,证明 : 3 0,由直线 (0,1)得其方程 :y=,代入 y得 |(1+同理可得 :|41+(2)1k S 四边形 1| |8(1k+2) 32,当且仅当 k=1 时 ,等号成立 四边形 2. 点评 :对角线相互垂直的四边形面积等于两对角长的之积的一半 ,其中 ,可灵活运用 弦长定理 . 同 类 试题 : 5.(2005 年全国 高考试题 )P、 Q、 M、 N 四点都在椭圆 2y=1上 ,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 , 己知 线 , 线 ,且 面积的最大值和最小值 . 6.(2007 年全国 高考试题 )己知椭圆32x+22y=1 的左、右焦点分别在 、 D 两点 ,过 、 C 两点 ,且 足为 P.( )设 P 点的坐标为 (x0,证明 :320x+220y0,b0), ,则 |=a,由 a+|=2|,又由 2=|2 |=34a | |4 21 离心率 e= 2=25; ( )由 ( )知 ,a=2b,c= 5 b 双曲线 C:线 AB:y=-2( b);将 y=-2( b)代入 152 5 4 | 5 1554 b=34b;由 |434b=4 b=3 双曲线 C:6. ( )由 | | | c,设点 H 是 双曲线右准线的交点 ,由 |e |F|=又由四边形 平行四边形 |c ; ( )当 =1时 ,由 ( )得 :e=2 c=2a,且 |c |c |15)(| 22222 P(23a,215a) 315 AB:y= 315 (双曲线 C:3;将 y=315(入 3 得 :40;由 | 1238(259144 a=1 双曲线 C:3. ( )由 l1:y=k1(x+ 2 ),将 y=k1(x+ 2 )代入 得 :( 2 有两个不同的解 0且=4(30 (- , (33) (33,1) (1,+ );同理可得 (- , (33) (33, 1) (1,+ ),由 1 (- 3 , (33) (33,1) (1, 3 ); ( )由 | 211 k |1|1322121 | 221 k |1|1322222由 | 5 | 2 ; 当 2 时 ,l1:y= 2 (x+ 2 ),l2:y=x+ 2 ); 当 2 时 ,l1:y=- 2 (x+ 2 ),l2:y=22(x+ 2 ). ( )由已知及椭圆的对称性知 ,直线 AM:y=x+2,代入 椭圆 E 得 :7 12 914; ( )将直线 AM:y=k(x+2)代入 椭圆 E 得 :(3+4k2)66 |2243 112 ;同理可得 :|43 112 22k 2| 4;设 f(t)=4 f (t)=3(2 0 f(t)在 R 上 单调递增 ;又 f( 3 )=15 3 - 260 f(t)有唯一的零点 k ( 3 ,2). 由 线 , 线 直线 点 F(0,1);又由 0 当 |5432112342 10 8 6 4 2 2 40 8 6 4 2 2 4 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 =2a=2 2 ,| 2 四边形 面积 =21|2;当 x 轴时 ,设 PQ:y=,把 y= 代入 2x2+ 得 : (2+k2) |222 )1(22 k k,同理可得 :|12 )1(22 22k k 四边形 =21|)12)(2( )1(4 2222 kk k;由 (2+2)49(1+ S916;由 S=2(142 kk k)四边形 面积的最大值 =2,最小值 =916. ( )由 椭圆的半焦距 c=1,点 P 在以线段 x2+ 上 320x+220y220x+220y1; ( ) 当 k 0时 ,AC:y=k(x+1)代入椭圆方程得 :(3) | 21 k 23 134 22 k k=23 )1(34 22k k,同理可 得 :|2223 )1(34 四边形 =21 |)32)(23( )1(24 2222 kk k22222)32()23( )1(96 kk k=2596; 当 斜率 k=0 或斜率不存在时 ,四边形 面积 S=四边形 面积的最小值为2596. ( )2,0)、 ,0)关于直线 x+ 的对称点分别为 M(2,4)、 N(2,0) 圆 C:(+y(0; ( )设直线 l:x=,代入 椭圆 () a=|2 5 5122因 圆 心 C(2,2)到直线 d=1|22b=2 222 d =142t 5 51222 5 ,当且仅当 12t =142t,即 t= 3 时 ,等号成立 l:x= 3 y+2. ( )圆心 A(),圆的半径 D=4 | | |4 点 以点 A()和 点 B(1,0)为焦点 ,以 4为长轴长 的椭圆 点 E 的轨迹方程 为 :42x+32y=1(y 0); ( ) 当 直线 l 的 斜率存在时 ,设 M(x1,N(x2,直线 l 的方程为 y=k(与椭圆42x+32y=1 联 立得 :