3_8065004_8.求和求积不等式之逐项比较

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 469 中国 高考数学母题 (第 145 号 ) 求和 求积 不等式之逐项比较 证明不等式 g(n) f(n)(其中 ,前 前 ,f(n),g(n)都 是关于 ,可 统一使用 逐项比较 法 解决 . 母题结构 :( )(和不等式 )己知 前 f(n),g(n)都 是关于 证明 :g(n) f(n);构造数列 x1=f(1),当 n 2时 ,xn=f(n)-f(y1=g(1),当 n 2时 ,yn=g(n)-g(则 g(n) Snf(n),即要证 g(n) f(n),只须证 :( )(积不等式 )己知 项 数列 前 ,f(n),g(n)都 是关于 证明 :g(n) f(n);构造数列x1=f(1),当 n 2 时 ,1( )(nf y1=g(1),当 n 2 时 ,1( )(ng g(n) f(n),即要证 g(n) f(n),只须证 : 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年四川高考试题 )已知数列 首项为 1,前 n 项和 ,=,其中 q0,n N+. ( )若 2a2,a3, 成等差数列 ,求数列 通项公式 ; ( )设双曲线 1 的离心率为 5 ,证 明 :e1+ +13 34 n 解析 :由 = a2= =(+1)-()= 数列 以首项 ,公比为 q 的等比数列 ; ( )由 2)=22 2q+2 q=2 ( )由 +5 q=34 en=4(1;令 数列 前 n 项 和 =13 34 则 34 ) enxn4(1 (34)1+(34)2n169(34)2 e1+ +enx1+ +3 34 点评 :己知 是数列 前 n 项和 ,若 an 证明和型数列不等式的基础 . 同 类 试题 : 1.(1985 年全国高考试题 )设 21 + 32 + + )1( n=1,2, )2 )1( 6)()(n 1). ( )求 通项公式 ; ( )设数列 足 :1)=前 n 项和 3). 子题类型 :(1985 年广东高考试题 )设 n 2,n N*,证明 :(1+31)(1+51) (1+121n)2 12 n. 解析 :因 (1+31)(1+51) (1+121n)2 12 n (1+11)(1+31)(1+51) (1+121n) 12 n ;令 +121n,数列 前n 项积 = 12 n ,则 2 12 nn;an2n 14 2n 成立 (1+11)(1+31)(1+51) (1+121n)=an12 n . 点评 :己知 是 正项 数列 前 n 项 积 ,若 an 证明 积 型数列不等式的基础 . 同 类 试题 : 3.(1998 年全国高考 理科 试题 )已知数列 等差数列 ,b1+ +45. 470 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )求数列 通项 ( )设数列 通项 an=+(其中 a0,且 a 1),记 前 n 项和 ,试比较 的大小 ,并证明你 的结论 . 4.(2009年山东高考试题 )等比数列 前 n,己知对任意的 n N*,点 (n,在函数 y=bx+r(b0,且 b 1,b,的图象上 .( )求 ( )当 b=2 时 ,记 ()(n N+),证明 :对任意的 n N+,不等式11 2211 1n 成立 . 证 明 子题类型 :(2015 年 广 东 高考试题 )数列 足 : +nn,n N+. ( )求 ( )求数列 前 n 项和 ( )令 b1=a1,bn=(1+21+31+ +n1)an(n 2),证明 :数列 前 n 项和 . 点评 :证明和型数列不等式的 关键之一是证明构造出的通项不等式 ,换元后 ,利用导数是常用方法 . 同 类 试题 : 5.(2015 年陕西高考试题 )设 fn(x)是等比数列 1,x, ,其中 x0,n N,n2 . ( )证明 :函数 Fn(x)=fn(x)21,1)内有且仅有一个零点 (记为 且 1+21; ( )设有一个与上述等比数列的首项、 末项、项数分别相同的等差数列 ,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小 ,并加以证明 . 6.(2009年广东高考试题 )己知曲线 Cn:(n=1,2, )p()向曲线 kn()切线 点为Pn(xn,( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :8.(2008 年陕西高考试题 )已知数列 首项 3,=123 n=1,2, . ( )求 通项公式 ; ( )证明 :对任意的 x0,anx11( 1x(n=1,2, ; ( )证明 :a1+ +29.(1998 年全国高考文 科 试题 )己知数列 等差数列 ,b1+ +00.( )求数列 通项 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 471 ( )设数列 通项 an=+记 前 n 项和 ,试比较 的大小 ,并证明你的结论 . 10.(2008 年福建高考试 题 )己知函数 f(x)=ln(x+1) )求 f(x)的单调区间 ; ( )记 f(x)在区间 0,n(n N*)上的最小值为 an=+n)(i)如果对一切 n,不等式22 求实数 c 的取值范围 ; (证 :12242 1231 令 数列 前 n 项和 =2 )1( xn=n;数列 )1( 数列 前 n 项和 =2)1( 2n,则 12 n;由 ( )由 bn=数列 =3=3= n 2 时 ,列 y1=)= n 2时 ,yn=3 当 n=1时 ,x1=当 n 2时 ,xn3nn3 (3n)3 (3n+2)(3 9 成立 ;所以 ,3=x1+ +xny1+ +yn=). ( )由 b1+ +45 b1+9 8 ( )由 Sn=1+1)(1+41) (1+231n),31=3n ;先证 (1+1)(1+41) (1+231n)3 13 n ;令 +231n=23 13列 前 3 13 n ,则 23 13 xn3 13 23 13 (3(3n+1)(3 95n9成立 (1+1)(1+41) (1+231n)=xn 13 n ;所以 ,当 a1 时 ,1;当 0 (2n+1)24n(n+1)成立11 2211 =xn1n . ( )由 F (x)=1+2x+ Fn(x)在 (21,1)内单调递增 ,且 1)=-(21)Fn(x)在 (21,1)内有且仅有一个零点 Fn(0111 1 +21 ; ( )由 等比数列 1,x, ,= 等差数列 公差为 d,则 d= =1+k;令 h(x)=1+k h (x)=k( h(x) h(1)=0,当且仅当 x=1 时 ,等号成立 当 x=1 时 ,= fn(x)=gn(x); 当 x 1时 ,2 12 nn2 4n4立 ;故由 f(x)f(0)=0 2 x 2 n121n. ( )由 1=6,当 n 2时 ,n(n+2) 3 适合该式 n(n+2) 3( )由 n(n+2) 32(2 3 数列 前 n 项和 =3n,则 ,当 n 2 时 , 3( )由 =123 1132 111(1)1=32 (31 )33 ( )由1= ,x11 - 2)1( 1x ( x) x11 - 2)1( 1x (1 (x11 )2 0 成立 ; ( )令 数列 前 n 项和 =12 -)1( 1 an331-)1( 11n1-)1( 13n+22n(n+ 1);当 n 3 时 ,3n+2=(1+2)n+21+22n(n+1);由 a1b1,a1+a2b1+当 n=1,2 时 ,a1+ +2当 n 3时 ,a1+ +ana1+a2+ +bnb1+b2+ +2( )由 b1+ +00 b1+0 9 ( )由 an=+ 数列 前 n 项 和 =21,则 12以 ,an12(12212 124立 Sn=a1+ +anx1+ +1. ( )f(x)的 定义域是 ( ),f (x)=111f(x)在 ()上 单调递增 ,在 (0,+ )上 单调 递减 ; ( )由 ( )知 ,f(x)在区间 0,n单调 递