3_8065014_9.三个基本图形.三类热点试题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 431 中国 高考数学母题 (第 136 号 ) 三个基本图形 三角形是 最简单的平面图形 ,利用三角形 的相关知识 ,解决其它平面图形 ,尤其最三个基本图形 :四边三角形 、 圆内接四边形 和 费尔马 三角形 ,是 高考命题的热点 . 母题结构 :( )(四边三角形 )(斯特瓦尔特 ( 理 )若 D 是 上一点 ,则 D C ( )(圆内接四边形 )若 圆内接四边形 边长分别为 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,则 (22222 ; ( )(费尔马 三角形 )(费 尔 马 ( )在一个三角形中 ,到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费尔马点 ; 若三角形 三个内角均小于 1200,那么对三条边所张的角都是 1200的点费尔马点 ; 若三角形有一内角不小于 1200,则此钝角的顶点是费尔马点 . 母题 解 析 :( )设 ,则 则在 在 D D(+=(D D+D ( )由 a2+b2+C= )=b2+(22222 ;( )略 . 子题类型 :(2010 年 陕 西 高考试题 )在 ,已知 B=450,D 是 上的一点 ,0,4,求 长 . 解析 :(法一 )在 ,由 0,4, 21 1 3;在 ,=5 6 . (法二 )过点 H ,在 142(H) H=16,又 1, 3 ;在 ,由 B=450 6 . 点评 :由三角形及一边上一点与该边所对顶点的连线构成的几何图形 ,称为四边三角形 ;对此 ,可把相关条 件 集中到一个 三角形 中 ,由此 三角形 开始 ,解决问题 ;还可利用 ,分别在 ,利用余弦定理求解 . 同 类 试题 : 1.(2006 年湖南高考试题 )如图 ,D 是直角 边 一点 ,D,记 , . ( )证明 :0; ( )若 3 的值 . 2.(2013 年 福建 高考试题 )如图 ,等腰直角三角形 , 00, 2 ,点 M 在线段 . ( )若 5 ,求 长 ; ( )若点 N 在线段 ,且 00,问 :当 何值时 , 面积最小 ？并求出面积的最小值 . 子题类型 :(2014 年 课标 高考试题 )四边形 内角 A 与 C 互补 ,A=2. ( )求 C 和 ( )求四边形 面积 . 解析 :( )设 C= ,则 A= 在 ,A=5 =5+ 4在 ,C=13 5+413 21 +47 7 ;( )由 四边形 面积 =S 1 +212 3 . 432 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 点评 :四边形 四边形 解决 圆内接四边形 问题的关键是利用 对角互补 和余弦定理 ,求出内角的余弦值 . 同 类 试题 : 3.(2001 年全国高考试题 )已知圆内接四边形 边长分别为 ,A=面积 . 4.(2009 年北京大学自主招生数学试题 )圆内接四边形 ,求 外接圆半径 . 子题类型 :(2013 年 课标 高考试题 )如图 ,在 , 00,3 ,P 为 一点 , 00.( )若 1,求 ( )若 500,求 解析 :( )在 , 00,1 00 00 7 27; ( )设 ,则 00在 ,由 00=在 ,由)150=0150 4 3 43 . 点评 :由三角形及其 内 一点与三角形三顶点的连线构成的几何图形 ,称为费尔马三角形 ;解决 费尔马三角形 问题 可把相关条 件 集中到一个 三角形 中 ,由此 三角形 开始 ,解决问题 ;还可利用 面积相等 ,列方程求 解 . 同 类 试题 : 5.(1984 年全国高考试题 )在 A, B, a,b,c,且 c=10,4,求点 P 到顶点 A,B,C 的距离的平方和的最大值与最小值 . 6.(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题 )在 ,已知 ,且 1. ( )求角 A 的大小和边 长 ; ( )若点 P 在 运动 (含边界 ),且点 P 到三边距离之和为 到边 A 的距离 为分别为 x,x,y 表示d,并求 d 的取值范围 . 7.(2010 年 全国 高考试题 ) ,D 为边 的一点 ,3,35,3,求 8.(2015 年 安徽 高考试 题 )在 , A=43, 2 ,点 C 边上 ,D,求 长 . 9.(2014 年 北京 高考试题 )如图 ,在 , B=3,点 C 边上 ,且 ,1. ( )求 ( )求 C 的长 . 10.(2015 年 四川 高考试题 )如图 ,A、 B、 C、 D 为平面四边形 四个内角 . ( )证明 : ( )若 A+C=1800,求 : ( )由 D 又由 ( + =2 =2 C 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 433 = 0; ( )(法一 )在 , 3 代入 0,即 (1=0 得 :(1=0 21 =6 =3; (法二 )过点 A 作 点 H,不妨设 ,则 3 ,设 AH=h,H=m,在 ,(m2+( 3 )2=(2m+1)2;在 ,m+1)2=( 3 )2 m=21,h=23 3 =3. ( )由 =0 或 3; ( )(法一 )设 ,在 4545理可得 7545S 1 1 )7545450022 75451 00 ;由 50+ )50+ )=50+ )450+ )+300=50+ ) 2350+ )+2150+ )=21 +300)+4321+43( =300时 ) S 8 ; (法二 )分别以 Q 为 x,y 轴建 立平面直角坐标系 ,则直线 PQ:x+y=2 2 ;设 ,则直线 OM:y=直线 y= +300) M( , ),N()3030)302 000 ,)3030)302 000 ) S 1 | )3030)302 000 -)3030)302 000 |=)30c o s ()30)s i n (c o s(s i n 2 00 = 00 30022 030=8 S 8 . 由 2+422+42+C= )=62+42+4821 3 四 边形 面积 =21(24+6 4) 3 . 设 ,则 设四边形 接圆半径为 ,由余弦定理知 :7在 ,由余弦定理知 :3 =13+12 1713+12 51 562, ,由正弦定理知 :2R=R=242310. 由 B) 2A+2B= A+B=2 C=2;又由4,c=10 a=6,b=8 内切圆 半径 r=21(a+2;设 内切圆圆心为 O,切点分别为 D,E,F, ,作 C 于 H,交 Q,则 H=2 2+22+(6+22=44+824 22+(42=241622+(2+22=128 0+ 8 72,88. ( )1 2 1 A=3;a2=b2+ a= 3 ; ( )由 S 12( 3 x+y=43 1 2 2( 3 x+y= 3 d=21 3 +(2- 3 )x+y;d23(x=y=0);d 434 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 最小边 的高 = 3 d 的取值范围是 23, 3 . (法一 )由 3 53 4,且 B 是锐 角 ;由 35 312 + 533;在 ,5; (法二 )过点 A 作 点 H,在 ,由 3,设 k(k0),则 k k;