3_8065040_2.展开式与多项式的运算

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 343 中国 高考数学母题 (第 111 号 ) 展开式 与多项式 的 运算 二项展开式的通项公式与 多项式的 运算性质结合 ,可以生成并解决高考中的三类典型试题 :多个 (至少 2 个 )二项式和的展开、两个 多项式 积 (至少 有一个 二项式 )的 展开 和 多个 多项式 积 (至少 3 个 )的 展开 . 母题结构 :( )(和 式的展开 式 ):和的展开式中 ,系数 =和中各个 二项式的 系数的和 ; f(x)+g(x)n 的f(x)+g(x) xp+ ( )(积式的展开式 ):(a0+ +b0+ +展开式中的 +( )(多项式的 乘法 ):(a1+ +b1+ + (c1+ +每个括号内取一项的乘积的和 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2005 年湖南 高考试题 )在 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)6展开式中 , (用数字作答 ). 解析 :(法一 )由 (1+x)项 =(1+x)+(1+x)2+ +(1+x)6展开式中 ,32+62=1+3+6+10+15=35. (法二 )由 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)6= )1( 7 展开式中 1+x)7展开式中 5. 点评 :对 于多个二项式和的展开问题 ,本题的两种解法呈现了 关于 多个二项式 和的展开问题 的两种 基本 解法 . 同 类 试题 : 1.(2009 年湖南 高考试题 )在 (1+x)3+(1+ x )3+(1+3x )3的展开式中 ,x 的系数为 (用数字作答 ). 2.(2009 年 华南理工自主招生 数学试题 )在 (1+x)2n+x(1+x)2 +x) ) (A)！n )1( )12( (B)2)( )12( n！ ！n(C)2)( )22( n！ ！n(D)！n )1( )22( 子题类型 :(2012 年 安徽 高考试题 )()(21的展开式的常数项是 ( ) (A) (B) (C)2 (D)3 解析 :由 (21的 通项 =1)k 常数项 =(,展开式的常数项 =2(+D). 点评 :求两个多 项式 乘积 f(x)g(x)的 展开式 中 含 系数 :首先考虑 f(x)与 g(x)中 的 求各种 可能情况 下 ,f(x)与 g(x)中 相关项的系数 ; 把同一 情况 下 ,f(x)与 g(x)中 相关项的系数 相乘 ,再求所有乘 积 的和 ,即得 展开式 中 含 系数 . 同 类 试题 : 3.(2010 年辽宁 高考试题 )(1+x+的展开式中的常数项为 . 4.(2014 年 浙 江 高考试题 )在 (1+x)6(1+y)4的展开式中 ,记 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) (A)45 (B)60 (C)120 (D)210 子题类型 :(2008 年 浙江 高考试题 )在 (展开式中 ,含 ) (A) (B)85 (C) (D)274 解析 :由 含 在 5 个 ( ,取 1 个 -k(k=1,2,3,4,5),剩余 4 个取 x 的所有和 =A). 点评 :在 ( (展开式中 ,含 (a1+ +这可与数列求和有机交汇 . 344 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 5.(1992 年 全国 高考试题 )在 (x+2)5的展开式中 x 的系数为 ( ) (A)160 (B)240 (C)360 (D)800 6.(2013 年 大纲 高考试题 )(1+x)8(1+y)4的展开式中 ) (A)56 (B)84 (C)112 (D)168 7.(2005 年湖北 高考试题 )(+(x+的展开式中整理后的常数项为 . 8.(2005 年浙江 高 考试题 )在 (1+(1+(1+(1的展开式中 ,含 ) (A)74 (B)121 (C) (D).(2008 年上海交通大学保送生考试试题 )(1+x)+(1+x)2+ +(1+x)98+(1+x)99中 . 10.(2010 年 浙 江 高考试题 )设 n 2,n N,(2x+21)x+31)n=a0+ + |0 k n)的最小值记为 ,214=0,21 , ,其中 . 11.(2008 年江西 高考试题 )(1+3x )6(1+41x)10展开式中的常数项为 ( ) (A)1 (B)46 (C)4245 (D)4246 12.(2008 年 辽宁 高考试题 )已知 (1+x+x+31x)n N+n 8,则 n= . 13.(2010 年全国 高考试题 )(1+2 x )3(15的展开式中 x 的系数 是 ( ) (A) (B) (C)2 (D)4 14.(2013 年 大纲 高考试题 )(1+x)8(1+y)4的展开式中 ) (A)56 (B)84 (C)112 (D)168 15.(第一类斯特林数 )若 x( ()的展开式中 ,含 . 16.(2008 年全 国高中数学联赛湖南 初赛试题 )多项式 (1+x+ +的展开式在合并同类项后 , (用数字作答 ). 由 (1+3的 通项 = 展开式中 ,x 的系数为 32+. 由 (1+x)2n+x(1+x)2 +x)n=(1+x)n(1+x)n+x(1+x) +(1+x) )1( )1(11 =(1+x)2n+1(1+x)n,其 展开式 中 ,(1+x)2n+1的展开式中 ,n=！n )1( )12( (A). 由 (=(的通项 =(-1)常数项 =含 64 展开式中的常数项 =64=由 f(m,n)=(1+x)6中 (1+y)4中 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C). 由 (x+2)5=(x+2)(x+2) (x+2)的展开式中 在 5个括号中 ,取一个括号中 的 3其余 括号中 均取常数项 2 的系数 =3 2440. 由 在 8 个 (1+x)中 ,抽取 2个 x,且 在 4 个 (1+y)中 ,抽取 2个 y=D). 由 ( 展开式的 通项 =2k 常数项 =x+ 展开式的 通项 =m 常数项 =整理后的常数项 =84=38. (法一 )由 (1-x)项 =x)k 展开式中 ,含 (D). (法二 )由 (1+(1+(1+(1=)1(1 )1(1)1(45x =1-(1中 (1中 (1中 (D). 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 345 由 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)98+(1+x)99=)1(1 )1(1)1(99x =1+x)100-(1+x)中 (1+x)100中 由 (2x+21)项 =1)x)k,(3x+31)项 =1)x)k 1)21)3k=21)31) |21)1)当 n 为偶数时 ,|0 ;当 n 为 奇 数时 ,在 k=0 处 ,|(21)31)小 21)1)n|=由 (1+3x )6 的通项 =(1+41x)10 的通项 =m ;令3k=4m 4k=3m (k,m)=(0,0),(3,4),(6,8) 展开式中的常数项 =6366D). 由 (x+31x)项 =开式既不出现常数项 ,也不会出现 0,2 n=5. 由 (1+2 x )3 的 通项 =2x )k,(15 的 通项 =(-1)x )m;令2k+3m=1 (k,m)=(0,3),(2,0) 展开式中x 的系 数 201)32C). 由 展开式中 (1+x)8中 (1+y)4中 D). 含 在 x,( ,()中 ,取 1个 -k(k